Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de V^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de V^{3}.
\vec{u}=3 \overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}, \vec{v}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=4 \overrightarrow{e_{1}}+3 \overrightarrow{e_{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma base \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\} de V^{3} (ou seja, são vetores que servem de referência) e os vetores
\vec{u}=3\overrightarrow{e_{1}}+2\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}},\qquad \vec{v}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\qquad \vec{w}=4\overrightarrow{e_{1}}+3\overrightarrow{e_{2}}.
O que se pede: decidir se o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é ou não uma base de V^{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada vetor está dado pelas suas coordenadas na base \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}.
  • As coordenadas (componentes) são:
    • \vec{u} \longleftrightarrow (3,2,-1),
    • \vec{v} \longleftrightarrow (1,1,1),
    • \vec{w} \longleftrightarrow (4,3,0).

Passo 2

Vou explicar o critério que vou usar (sem pular passos): em um espaço vetorial de dimensão 3, um conjunto de três vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes (equivalente a dizer que seu determinante, quando colocados como colunas de uma matriz 3×3, é diferente de zero).
O que significa linearmente independente? Significa que a única solução do sistema
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam base.
Explicação do uso do determinante (ferramenta prática): formamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w} na base \{\overrightarrow{e_i}\}. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero então os vetores são independentes; se for zero então são dependentes. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui cada coluna corresponde, respectivamente, a \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.]

Passo 4

Vou calcular o determinante de A por expansão na primeira linha (método direto e didático). A fórmula de expansão na primeira linha é
\det(A)=a_{11}\,C_{11}+a_{12}\,C_{12}+a_{13}\,C_{13},
onde C_{1j} são os cofatores (observe os sinais alternados). Aplicando aos elementos da primeira linha:
\det(A)=3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2 devagarinho:
  • Primeiro: \det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 3\cdot 1 = -3.
  • Segundo: \det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot 0 - 3\cdot(-1)=0+3=3.
  • Terceiro: \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot(-1)=2+1=3.
Substituindo:
\det(A)=3\cdot(-3) - 1\cdot(3) + 4\cdot(3) = -9 - 3 + 12 = 0.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=0 implica que as colunas de A — ou seja, \vec{u},\vec{v},\vec{w} — são linearmente dependentes. Logo não podem formar uma base de V^{3}.
Para ficar bem claro e dar uma verificação concreta (útil na prova): encontro uma relação linear não trivial entre os vetores. Verifico se \vec{w} é combinação de \vec{u} e \vec{v}. Calculo \vec{u}+\vec{v}:
\vec{u}+\vec{v}=(3,2,-1)+(1,1,1)=(4,3,0),
que coincide exatamente com \vec{w}. Portanto
\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.
Isto é uma combinação linear não trivial (coeficientes 1,1,-1 dão 1\vec{u}+1\vec{v}-1\vec{w}=\vec{0}), confirmando a dependência linear.

Passo 6

Conclusão final direta: como existe dependência linear (por exemplo \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}), o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} não é uma base de V^{3}. Força aí — você já viu o método (determinante ou mostrar uma combinação), isso é repetitivo em provas e rápido de fazer quando souber montar a matriz dos coeficientes.

Resposta

Não. Os vetores não formam uma base de V^{3} (são linearmente dependentes, pois \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}).

Exercícios relacionados