Nos exercícios 33 a 37, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
r=2 a \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 2a \sin\theta
e pede o comprimento de arco dessa curva. Informações relevantes que temos:
  • A função polar é r(\theta)=2a\sin\theta.
  • Presume-se a>0 (constante positiva).
  • É necessário escolher o intervalo de \theta que descreve a curva uma vez (evitar contagem múltipla).
    Nada mais é pedido além do comprimento de arco.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula do comprimento de arco para curvas dadas em coordenadas polares e entender de onde ela vem (aula curta).
  • Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
  • O comprimento de arco para uma curva parametrizada por \theta é
S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{d\theta}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{d\theta}\Bigr)^2}\;d\theta.
Vamos calcular \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta}.
  • Diferenciando:
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta.
  • Agora somamos os quadrados e simplificamos (mostrar os termos que se cancelam):
\Bigl(\frac{dx}{d\theta}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{d\theta}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) +2\frac{dr}{d\theta}r\bigl(-\sin\theta\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\bigr).
  • Usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e observando que os termos cruzados se cancelam, obtemos
\Bigl(\frac{dx}{d\theta}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{d\theta}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2 + r^2.
  • Portanto a fórmula do comprimento de arco em polares é
S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r(\theta)^2+\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2}\;d\theta.
Aqui:
  • r(\theta) é a função radial dada,
  • \dfrac{dr}{d\theta} é sua derivada em relação a \theta,
  • [\alpha,\beta] é o intervalo de \theta que percorre a curva uma vez.

Passo 3

Calcular \dfrac{dr}{d\theta} para r(\theta)=2a\sin\theta.
\frac{dr}{d\theta}=2a\cos\theta.

Passo 4

Substituir r e \dfrac{dr}{d\theta} na expressão do integrando:
r^2+\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2=(2a\sin\theta)^2+(2a\cos\theta)^2 =4a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=4a^2.
Logo o integrando é
\sqrt{r^2+\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2}=\sqrt{4a^2}=2a.
Observação: toma-se a raiz positiva; como a>0, 2a>0.

Passo 5

Escolher os limites \alpha e \beta. Precisamos do intervalo de \theta que descreve a curva exatamente uma vez.
  • Note que r=2a\sin\theta\ge0 quando \sin\theta\ge0, isto é para \theta\in[0,\pi]. Para \theta\in(0,\pi) a curva está sendo gerada com r>0; em \theta=0 e \theta=\pi temos r=0 (origem).
  • Em coordenadas cartesianas, a equação corresponde a um círculo: partindo de r=2a\sin\theta obtemos r^2=2a r\sin\theta\Rightarrow x^2+y^2=2ay\Rightarrow x^2+(y-a)^2=a^2, ou seja, círculo de raio a centrado em (0,a).
  • O intervalo \theta\in[0,\pi] traça esse círculo exatamente uma vez (vai de origem, sobe pela direita até o ponto superior e volta à origem).
    Portanto escolhemos \alpha=0 e \beta=\pi.

Passo 6

Calcular o comprimento integrando o integrando constante 2a em [0,\pi]:
S=\int_{0}^{\pi} 2a\;d\theta = 2a\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi}=2a\pi.

Passo 7

Comentário final e dica de prova: aqui a integração ficou muito simples porque r^2+(dr/d\theta)^2 se reduziu a uma constante. Sempre que vir formas trigonométricas parecidas, tente simplificar antes de integrar. Força aí — você já chegou na resposta com contas diretas!

Resposta

2\pi a

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