Nos exercícios 33 a 37, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede o comprimento de arco dessa curva. Informações relevantes que temos:
- A função polar é
. - Presume-se
(constante positiva). - É necessário escolher o intervalo de
que descreve a curva uma vez (evitar contagem múltipla).
Nada mais é pedido além do comprimento de arco.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula do comprimento de arco para curvas dadas em coordenadas polares e entender de onde ela vem (aula curta).
- Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são
- O comprimento de arco para uma curva parametrizada por
é
Vamos calcular
e
.
- Diferenciando:
- Agora somamos os quadrados e simplificamos (mostrar os termos que se cancelam):
- Usando
e observando que os termos cruzados se cancelam, obtemos
- Portanto a fórmula do comprimento de arco em polares é
Aqui:
-
é a função radial dada, -
é sua derivada em relação a , -
é o intervalo de que percorre a curva uma vez.
Passo 3
Calcular
para
.
Passo 4
Substituir
e
na expressão do integrando:
Logo o integrando é
Observação: toma-se a raiz positiva; como
,
.
Passo 5
Escolher os limites
e
. Precisamos do intervalo de
que descreve a curva exatamente uma vez.
- Note que
quando , isto é para . Para a curva está sendo gerada com ; em e temos (origem). - Em coordenadas cartesianas, a equação corresponde a um círculo: partindo de
obtemos , ou seja, círculo de raio centrado em . - O intervalo
traça esse círculo exatamente uma vez (vai de origem, sobe pela direita até o ponto superior e volta à origem).
Portanto escolhemose .
Passo 6
Calcular o comprimento integrando o integrando constante
em
:
Passo 7
Comentário final e dica de prova: aqui a integração ficou muito simples porque
se reduziu a uma constante. Sempre que vir formas trigonométricas parecidas, tente simplificar antes de integrar. Força aí — você já chegou na resposta com contas diretas!