Nos exercícios 47 a 56, calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede a área limitada por essa curva. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação polar da curva é
. - Como
, temos , logo para todo . - A curva é fechada e periódica com período
(uma volta completa em de a ).
O que se pede: calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática). Em coordenadas polares, um setor pequeno formado quando
varia de
a
tem área aproximada igual à área de um setor circular de raio
, isto é
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o pequeno incremento angular. Integrando esses setores ao longo do ângulo que descreve a curva fechada obtemos a área total:
onde
e
são os limites angulares que percorrem a curva uma vez. Nesta fórmula:
-
é a área procurada; -
é a função radial da curva; -
é a variação angular infinitesimal.
Passo 3
Escolha dos limites de integração. Como
e a função é
-periódica, uma volta completa da curva ocorre quando
vai de
a
. Portanto podemos tomar
e
. Assim:
Passo 4
Desenvolvendo o integrando passo a passo. Primeiro elevamos ao quadrado:
Logo a área fica
Passo 5
Calcular a integral termo a termo. Usamos a identidade trigonométrica
Substituindo na integral:
Agrupando termos:
Agora integramos cada parcela:
-
-
-
Somando:
Voltando à expressão para
:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida. O resultado
tem unidade de área; se desejar, nota-se que para a família
a área total é
. No caso
obtemos
, conferindo o cálculo anterior. Força aí — é um cardioide clássico; a fórmula e os passos acima funcionam bem numa prova.