Nos exercícios 47 a 56, calcular a área limitada pela curva dada.
r=4(1-\cos \theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=4(1-\cos\theta)
e pede a área limitada por essa curva. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação polar da curva é \,r(\theta)=4(1-\cos\theta).
  • Como \cos\theta\in[-1,1], temos 1-\cos\theta\in[0,2], logo r(\theta)\ge 0 para todo \theta.
  • A curva é fechada e periódica com período 2\pi (uma volta completa em \theta de 0 a 2\pi).
    O que se pede: calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática). Em coordenadas polares, um setor pequeno formado quando \theta varia de \theta a \theta+d\theta tem área aproximada igual à área de um setor circular de raio r, isto é
dA \approx \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta.
Aqui r=r(\theta) é a distância do ponto à origem e d\theta é o pequeno incremento angular. Integrando esses setores ao longo do ângulo que descreve a curva fechada obtemos a área total:
A=\tfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\,d\theta,
onde \theta_1 e \theta_2 são os limites angulares que percorrem a curva uma vez. Nesta fórmula:
  • A é a área procurada;
  • r(\theta) é a função radial da curva;
  • d\theta é a variação angular infinitesimal.

Passo 3

Escolha dos limites de integração. Como r(\theta)\ge 0 e a função é 2\pi-periódica, uma volta completa da curva ocorre quando \theta vai de 0 a 2\pi. Portanto podemos tomar \theta_1=0 e \theta_2=2\pi. Assim:
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl[4(1-\cos\theta)\bigr]^2\,d\theta.

Passo 4

Desenvolvendo o integrando passo a passo. Primeiro elevamos ao quadrado:
\bigl[4(1-\cos\theta)\bigr]^2 = 16(1-2\cos\theta+\cos^2\theta).
Logo a área fica
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 16\bigl(1-2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta =8\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral termo a termo. Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta).
Substituindo na integral:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(1-2\cos\theta+\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\Bigr)\,d\theta.
Agrupando termos:
1+\tfrac{1}{2}(1)=\tfrac{3}{2},\quad\text{então}\quad \int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac{3}{2}-2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos 2\theta\Bigr)\,d\theta.ã
Agora integramos cada parcela:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\tfrac{3}{2}\,d\theta=\tfrac{3}{2}\cdot 2\pi=3\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-2\cos\theta\,d\theta=-2\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\cos 2\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi}=0.
    Somando:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta = 3\pi.
Voltando à expressão para A:
A=8\cdot 3\pi = 24\pi.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida. O resultado A=24\pi tem unidade de área; se desejar, nota-se que para a família r=a(1-\cos\theta) a área total é A=\tfrac{3\pi}{2}a^2. No caso a=4 obtemos A=\tfrac{3\pi}{2}\cdot 4^2= \tfrac{3\pi}{2}\cdot 16 =24\pi, conferindo o cálculo anterior. Força aí — é um cardioide clássico; a fórmula e os passos acima funcionam bem numa prova.

Resposta

24\pi

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