(2 pts) Calcule a integral indefinida
integral x^2+2 x-1x^3-x^2-x+1 d x

Passo 1

Temos a integral indefinida
integral x^2+2x-1x^3-x^2-x+1,dx
Esse é um caso de função racional. Para resolver usamos decomposição em frações parciais, o que exige fatorar o denominador e expressar a fração como soma de termos mais simples.

Passo 2

Observe que o denominador pode ser fatorado por agrupamento:
x^3-x^2-x+1 = x^2(x-1) -1,(x-1) = (x-1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1)

Passo 3

Escrevemos então a decomposição em frações parciais:
x^2+2x-1(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x+1) obtemos a identidade

Passo 4

x^2+2x-1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2

Passo 5

Expandindo e coletando termos:
A(x^2-1)+B(x+1)+C(x^2-2x+1) = (A+C)x^2 + (B-2C)x + (-A+B+C)
Igualando coeficientes ao polinômio do lado esquerdo gera o sistema
A + C = 1, B - 2C = 2, - A + B + C = -1
Resolvendo, achamos
C = -tfrac12, A = tfrac32, B = 1

Passo 6

Voltando à integral, temos agora
integral x^2+2x-1x^3-x^2-x+1,dx = integrall(3/2x-1 + 1(x-1)^2 - 1/2x+1r),dx
Integrando cada parcela:
integral 3/2x-1,dx = tfrac32lnlvert x-1rvert, integral 1(x-1)^2,dx = -1x-1, integral -1/2x+1,dx = -tfrac12lnlvert x+1rvert
Somando tudo e incluindo a constante de integração, chegamos à resposta final.

Resposta

32lnlvert x-1rvert - 1x-1 - 12lnlvert x+1rvert + C

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