Nos exercícios 34. e 35., dê a solução geral da equação homogênea.
Dê a solução geral da equação homogênea.
(2 \sqrt{x y}-y) d x=x d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2raizx,y-y),dx = x,dy
e pede a solução geral da homogênea. Isso é uma equação de primeira ordem homogênea, pois ao escrever
dydx=2raizx,y-yx
o lado direito depende só de y/x. Para resolver vamos usar a substituição y=vx.

Passo 2

Com y=vx temos
dydx=v + xdvdx
Substituindo em
dydx=2raizx,y-yx
obtemos
v + xdvdx = 2raizx,(v x)-v xx = 2raizv-v

Passo 3

Isolando o termo com dv/dx,
xdvdx = 2raizv-v - v = 2(raizv-v)
Então a equação separa variáveis:
dv2(raizv-v)=dxx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, faça u=raizv, de modo que v=u^2 e dv=2u,du. Então
dv2(raizv-v) = 2u,du2(u - u^2) = u,duu(1-u) = du1-u
Logo a integral fica
integral du1-u = -lnlvert1-urvert + C1
No lado direito
integraldxx = lnlvert xrvert + C2

Passo 5

Igualando resultados e juntando constantes:
-lnlvert1-raizvrvert = lnlvert xrvert + C,
onde C=C2 - C1. Isso dá
lnlvert1-raizvrvert = -lnlvert xrvert + C Longrightarrow lnl(lvert1-raizvrvert,lvert xrvertr)=C

Passo 6

Retornando a v=y/x:
lvert x(1-raizy/x)rvert = e^C,
ou simplesmente (absorvendo sinal e e^C numa constante K)
x - raizx,y = K

Resposta

A solução geral da equação homogênea é
x - raizx,y = C,
com C constante arbitrária.

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