Nos exercícios 34. e 35., dê a solução geral da equação homogênea.
Dê a solução geral da equação homogênea.
(2 \sqrt{x y}-y) d x=x d y
Dê a solução geral da equação homogênea.
(2 \sqrt{x y}-y) d x=x d y
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral da homogênea. Isso é uma equação de primeira ordem homogênea, pois ao escrever
o lado direito depende só de
. Para resolver vamos usar a substituição
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Isolando o termo com
,
Então a equação separa variáveis:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, faça
, de modo que
e
. Então
Logo a integral fica
No lado direito
Passo 5
Igualando resultados e juntando constantes:
onde
. Isso dá
Passo 6
Retornando a
:
ou simplesmente (absorvendo sinal e
numa constante
)
Resposta
A solução geral da equação homogênea é
com
constante arbitrária.