Nos exercícios 34. e 35., dê a solução geral da equação homogênea.
Dê a solução geral da equação homogênea.
2 x^{3} y d x+\left(x{4}+y{4}\right) d y=0
Dê a solução geral da equação homogênea.
2 x^{3} y d x+\left(x{4}+y{4}\right) d y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação de tipo homogêneo (os dois termos são formas de grau 4 em
). Vamos usar a substituição
pois em equações homogêneas isso transforma a equação numa de variáveis separáveis.
Passo 2
Com
temos
Substituindo em
vem
Isto é
Passo 3
Agrupando os termos em
e dividindo por
, obtemos
Isolando
,
Agora é uma equação separável.
Passo 4
Fazemos a integral de ambos os lados:
Para integrar o segundo lado, escrevemos
obtendo
Logo
Passo 5
Voltando a
u=y/x e combinando logaritmos, temos
Simplificando os módulos e potências, chega-se à forma implícita
onde
K é uma constante arbitrária (já absorvendo sinais).
Resposta
A solução geral implícita é
com
C constante de integração.