Nos exercícios 34. e 35., dê a solução geral da equação homogênea.
Dê a solução geral da equação homogênea.
2 x^{3} y d x+\left(x{4}+y{4}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
2x^3y,dx+l(x^4+y^4r),dy=0,
que é uma equação de tipo homogêneo (os dois termos são formas de grau 4 em x,y). Vamos usar a substituição
y = u,x,
pois em equações homogêneas isso transforma a equação numa de variáveis separáveis.

Passo 2

Com y= u,x temos
dy = u,dx + x,du
Substituindo em
2x^3y,dx + (x^4+y^4),dy = 0
vem
2x^3(u,x),dx + l(x^4 + (u,x)^4r)l(u,dx + x,dur) = 0
Isto é
2x^4u,dx + x^4l(1+u^4r),u,dx + x^5l(1+u^4r),du = 0

Passo 3

Agrupando os termos em dx e dividindo por x^5, obtemos
2u + u(1+u^4)x,dx + (1+u^4),du = 0 Longrightarrow 3u + u^5x,dx + (1+u^4),du = 0
Isolando ,dx/x,
dxx = -,1+u^4u(3+u^4),du
Agora é uma equação separável.

Passo 4

Fazemos a integral de ambos os lados:
integral dxx = - integral 1+u^4u(3+u^4),du
Para integrar o segundo lado, escrevemos
1+u^4u(3+u^4) = 1/3u + 2/3,u^33+u^4,
obtendo
integral 1+u^4u(3+u^4),du = 13integralduu + 23integralu^3,du3+u^4 = 13ln|u| + 16lnl|3+u^4r| + C1
Logo
ln|x| = -13ln|u| - 16lnl|3+u^4r| + C2

Passo 5

Voltando a u=y/x e combinando logaritmos, temos
lnl(|x|,|u|^1/3,|3+u^4|^1/6r) = C2 Longrightarrow |x|,l|tfracyxr|^!1/3!l|3+(tfracyx)^4r|^!1/6=C
Simplificando os módulos e potências, chega-se à forma implícita
|y|^1/3,l|3x^4+y^4r|^1/6 = C Longrightarrow y^2l(3x^4+y^4r)=K,
onde K é uma constante arbitrária (já absorvendo sinais).

Resposta

A solução geral implícita é
y^2,l(3x^4+y^4r)=C,
com C constante de integração.

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