Mostre os seguintes itens:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de
de
até
é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de funções trigonométricas e propriedades de simetria dessas funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que
é uma função par. Isso significa que
é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que a integral de uma função par em um intervalo simétrico
pode ser simplificada. No caso, como estamos integrando de
a
, podemos utilizar essa simetria.
Passo 4
No entanto, ao integrar
sobre um intervalo completo de período, a área positiva acima do eixo x cancela exatamente a área negativa abaixo do eixo x. Isso acontece porque a função
completa um número inteiro de ciclos nesse intervalo.
Passo 5
Matematicamente, calculando a integral:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, então:
Resposta
Portanto,