Mostre os seguintes itens:
integral-pi^pi cos (n x) d x=0

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de cos(nx) de -pi até pi é igual a zero, ou seja:
integral-pi^pi cos(nx) , dx = 0
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de funções trigonométricas e propriedades de simetria dessas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que cos(nx) é uma função par. Isso significa que cos(nx) é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, cos(-nx) = cos(nx).

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função par em um intervalo simétrico [-a, a] pode ser simplificada. No caso, como estamos integrando de -pi a pi, podemos utilizar essa simetria.

Passo 4

No entanto, ao integrar cos(nx) sobre um intervalo completo de período, a área positiva acima do eixo x cancela exatamente a área negativa abaixo do eixo x. Isso acontece porque a função cos(nx) completa um número inteiro de ciclos nesse intervalo.

Passo 5

Matematicamente, calculando a integral:
integral-pi^pi cos(nx) , dx = [ sin(nx)n ]-pi^pi = sin(npi)n - sin(-npi)n
Sabemos que sin(npi) = 0 para qualquer inteiro n, então:
0n - 0n = 0

Resposta

Portanto,
integral-pi^pi cos(nx) , dx = 0

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