Nos exercicios de 1 a 35 , calcule as integrais.
integral cotg x cossec^2 x sen(cotg^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cot x,csc^2 x,sinl(cot^2 xr),dx. O conteúdo é Integrais por substituição, e vamos precisar usar a derivada de cot x e a técnica de mudança de variável para funções compostas.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=cot x. Sabendo que dfracddx(cot x)=-csc^2 x, temos du=-csc^2 x,dx, ou seja, csc^2 x,dx=-du.
Reescrevendo a integral em função de u:
[
\int \cot x,\csc^2 x,\sin\bigl(\cot^2 x\bigr),dx
=\int u,\sin(u2),\bigl(\csc2 x,dx\bigr)
=\int u,\sin(u^2),(-du)
=-\int u,\sin(u^2),du

Passo 3

Para resolver -integral u,sin(u^2),du, fazemos outra substituição: seja v=u^2. Então dv=2u,du, isto é, u,du=tfrac12,dv. A integral fica:
[
-\int u,\sin(u^2),du
=-\int \sin(v),\frac{dv}{2}
=-\frac12\int \sin(v),dv
= -\frac12(-\cos v)+C
=\frac12\cos v +C

Passo 4

Voltando a v=u^2 e u=cot x, obtemos a resposta em x:
12cosl(cot^2 xr)+C

Resposta

12cosl(cot^2 xr)+C

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