Nos exercicios de 1 a 35 , calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo é Integrais por substituição, e vamos precisar usar a derivada de
e a técnica de mudança de variável para funções compostas.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
. Sabendo que
, temos
, ou seja,
.
Reescrevendo a integral em função de :
Reescrevendo a integral em função de
[
\int \cot x,\csc^2 x,\sin\bigl(\cot^2 x\bigr),dx
=\int u,\sin(u2),\bigl(\csc2 x,dx\bigr)
=\int u,\sin(u^2),(-du)
=-\int u,\sin(u^2),du
\int \cot x,\csc^2 x,\sin\bigl(\cot^2 x\bigr),dx
=\int u,\sin(u2),\bigl(\csc2 x,dx\bigr)
=\int u,\sin(u^2),(-du)
=-\int u,\sin(u^2),du
Passo 3
Para resolver
, fazemos outra substituição: seja
. Então
, isto é,
. A integral fica:
[
-\int u,\sin(u^2),du
=-\int \sin(v),\frac{dv}{2}
=-\frac12\int \sin(v),dv
= -\frac12(-\cos v)+C
=\frac12\cos v +C
-\int u,\sin(u^2),du
=-\int \sin(v),\frac{dv}{2}
=-\frac12\int \sin(v),dv
= -\frac12(-\cos v)+C
=\frac12\cos v +C
Passo 4
Voltando a
e
, obtemos a resposta em
: