Nos exercicios de 1 a 35 , calcule as integrais.
integral x^7 raizx^4-2 d x

Passo 1

Temos a integral integral x^7raizx^4-2,dx, que envolve uma função composta; para esse tipo de integral, uma boa estratégia é usar a substituição que simplifica a raiz interna.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^4-2. Então, derivando ambos os lados, obtemos du = 4x^3,dx. Além disso, temos x^4 = u + 2.

Passo 3

Reescrevemos x^7,dx como x^4cdot x^3,dx. Substituindo, fica
x^7,dx = x^4l(x^3,dxr) = (u+2)du4
Assim, a integral passa a ser
integral x^7raizx^4-2,dx = 14integral (u+2)raizu,du

Passo 4

Expandindo o integrando em potências de u, temos
14integral (u^3/2 + 2u^1/2),du = 14l(integral u^3/2,du + 2integral u^1/2,dur)
Agora basta usar a regra integral u^p,du = u^p+1p+1 + C.

Passo 5

Integramos cada termo:
integral u^3/2,du = u^5/25/2 = 25u^5/2, integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Logo,
14l(25u^5/2 + 2cdot23u^3/2r) = 110u^5/2 + 13u^3/2 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = x^4-2. Assim, a integral é expressa em função de x.

Resposta

110(x^4-2)^5/2 + 13(x^4-2)^3/2 + C

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