Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
integral sen omega t sen(omega t+theta) d t

Passo 1

Aqui temos a integral indefinida integral sin(omega t)sin(omega t+theta),dt. O assunto é integração de produtos trigonométricos, e vamos usar a identidade produto-para-soma para simplificar.

Passo 2

Lembra da identidade trigonométrica sin Asin B = tfrac12[cos(A-B) - cos(A+B)]. Aplicando com A=omega t, B=omega t+theta, obtemos:
sin(omega t)sin(omega t+theta) = 12[cos(-theta) - cos(2omega t+theta)] = 12[costheta - cos(2omega t+theta)]

Passo 3

Assim a integral vira:
integralsin(omega t)sin(omega t+theta),dt = 12integral[costheta - cos(2omega t+theta)],dt

Passo 4

Agora é só integrar termo a termo. Temos integralcostheta,dt = costheta,t e integralcos(2omega t+theta),dt = tfrac12omegasin(2omega t+theta). Logo:
12l[costheta,t - tfrac12omegasin(2omega t+theta)r] + C

Passo 5

Reescrevendo de forma compacta, chegamos a:
costheta2t - 14omegasin(2omega t+theta) + C

Resposta

costheta2t - 14omegasin(2omega t + theta) + C

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