Calcule as seguintes integrais:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aqui: integral duplaD(x^3 y+cos (x)) d A, onde a região D está definida por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= x. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender como configurar a integral baseada nos limites de integração e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. Ela está limitada por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= x. Isso significa que para cada valor de x entre 0 e pi2, y varia de 0 até o próprio x. Então, a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada, onde primeiro integramos em relação a y e depois em relação a x:
integral0^pi2 integral0^x (x^3 y+cos (x)) dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. A expressão dentro da integral é x^3 y + cos(x). Como x é tratado como uma constante quando integramos em relação a y, temos:
integral0^x (x^3 y + cos(x)) dy = x^3 integral0^x y , dy + cos(x) integral0^x dy
Calculemos cada parte:
  1. integral0^x y , dy = y^22|0^x = x^22
  2. integral0^x dy = x
Então, substituindo de volta:
x^3 cdot x^22 + cos(x) cdot x = x^52 + x cos(x)

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a x de 0 a pi2:
integral0^pi2 (x^52 + x cos(x)) dx = 12 integral0^pi2 x^5 dx + integral0^pi2 x cos(x) dx
Calculando cada integral separadamente:
  1. 12 integral0^pi2 x^5 dx = 12 cdot x^66|0^pi2 = 112 (pi2)^6
  2. Para integral x cos(x) dx, usamos a integração por partes onde:
    • u = x Rightarrow du = dx
    • dv = cos(x) dx Rightarrow v = sin(x)
    Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
    integral u , dv = uv - integral v , du
    Avaliado de 0 a x sin(x) - integral sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) :
    pi2

Resposta

Somando as duas partes, a integral dupla vale:
112 (pi2)^6 + (pi2 - 1)

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