Seja
a fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00a3o definida por
. Calcule
[
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x{2}+y{2}, y\right) e \frac{\partial}{\partial x}\left[f\left(x{2}+y{2}, y\right)\right] .
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x{2}+y{2}, y\right) e \frac{\partial}{\partial x}\left[f\left(x{2}+y{2}, y\right)\right] .
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular duas coisas envolvendo derivadas parciais: primeiro a derivada parcial de 𝑓(x,y)=x²+y² em relação a x, mas avaliada no ponto (x²+y², y); depois a derivada parcial em x da função composta 𝑔(x,y)=f(x²+y², y). Vamos usar teoria de derivada parcial e regra da cadeia.
Passo 2
Para começar, lembramos que, em geral, para 𝑓(u,v)=u²+v² temos
$$
\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)=2u \quade\quad \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)=2v. $$
Aqui u e v são as variáveis de 𝑓.
Aqui u e v são as variáveis de 𝑓.
Passo 3
Como a pergunta quer
, basta tomar u=x²+y². Então
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x²+y²,y)=2,(x²+y²). $$
Passo 4
Agora definimos
$$
g(x,y)=f\bigl(x²+y²,,y\bigr).
\frac{\partial}{\partial x}f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)=\frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v},\frac{\partial v}{\partial x}. $$
Passo 5
Aqui temos u(x,y)=x²+y² e v(x,y)=y. Logo
Passo 6
Substituindo tudo e lembrando que u=x²+y² e v=y:
$$
\frac{\partial}{\partial x}f\bigl(x²+y²,y\bigr)=2u\cdot2x+2v\cdot0=4x,(x²+y²). $$