Integrais com raízes quadradas
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
integral-pi^pi(1-cos ^2 t)^3 / 2 d t

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
integral-pi^pi l(1-cos^2 tr)^3/2 ,dt
que envolve raízes de expressões trigonométricas. Vamos usar identidade, paridade de função e técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Observando que 1-cos^2 t=sin^2 t, temos
l(1-cos^2 tr)^3/2=(sin^2 t)^3/2=|sin t|^3
Essa simplificação transforma a integral original em integral-pi^pi|sin t|^3,dt.

Passo 3

Como |sin t|^3 é uma função par, podemos usar
integral-pi^pi|sin t|^3,dt = 2integral0^pi|sin t|^3,dt
No intervalo [0,pi] temos sin t>=0, logo |sin t|=sin t, e a integral vira
2integral0^pisin^3 t,dt

Passo 4

Para calcular integral0^pisin^3 t,dt usamos a redução. Primeiro escrevemos
sin^3 t=sin t,(1-cos^2 t)
Fazendo a substituição u=cos t, du=-sin t,dt, a integral fica
integral0^pisin^3 t,dt = -integralu(0)=1^u(pi)=-1(1-u^2),du

Passo 5

Agora avaliamos a integral em u:
-integral1^-1(1-u^2),du = -l[u - u^33r]1^-1 = -l[(-1) - (-1)^33 - l(1 - tfrac1^33r)r] = 43

Passo 6

Voltando ao fator 2 que tiramos pela paridade, o valor final da integral é
2times 43 = 83

Resposta

\tfrac{8}{3}

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