Integrais com raízes quadradas
Calcule as integrais dos exercícios 15-22.
integral-pi / 4^pi / 4 raizsec ^2 x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-pi/4^pi/4raizsec^2 x - 1,dx. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e integração de funções trigonométricas com valor absoluto. Vamos precisar usar a identidade sec^2 x - 1 = tan^2 x e depois lidar com |tan x| no intervalo dado.

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica, temos
raizsec^2 x - 1 = raiztan^2 x = |tan x|
Isso porque a raiz quadrada de tan^2 x é sempre o valor absoluto de tan x.

Passo 3

Para tratar o valor absoluto, observamos que em xin[-pi/4,pi/4] a função tan x é negativa para x<0 e positiva para x>0. Logo |tan x| é uma função par, e podemos usar simetria:
integral-pi/4^pi/4|tan x|,dx = 2integral0^pi/4tan x,dx

Passo 4

Agora calculamos integral0^pi/4tan x,dx. Lembremos que
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C
Então
integral0^pi/4tan x,dx = l[-lnl|cos xr|r]0^pi/4 = -lnl(cos(tfracpi4)r) + lnl(cos 0r)

Passo 5

Calculando os valores de cosseno,
integral0^pi/4tan x,dx = -lnl(tfracraiz22r) + ln(1) = -l(-tfrac12ln2r) + 0 = tfrac12ln2
então
2integral0^pi/4tan x,dx = 2cdot tfrac12ln2 = ln2
Multiplicando por 2 (devido à simetria), temos

Resposta

ln 2

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