Nos exercícios de 37 a 44, use fórmulas para dados agrupados para encontrar a média e o desvio padrão indicados.
O número de galões de água consumidos diariamente em um pequeno vilarejo está listado a seguir. Faça a distribuição de frequência (usando cinco classes) para o conjunto de dados. Então, aproxime a média populacional e o desvio padrão populacional do conjunto de dados.
167 180 192 173 145 151 174 175 178 160
195 124 244 146 162 146 177 163 149 188

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Fazer a distribuição de frequência dos dados usando exatamente cinco classes.
  2. A partir dessa distribuição, aproximar a média populacional e o desvio padrão populacional.
Informações fornecidas (os 20 valores de consumo em galões por dia):
167,\;180,\;192,\;173,\;145,\;151,\;174,\;175,\;178,\;160,\;195,\;124,\;244,\;146,\;162,\;146,\;177,\;163,\;149,\;188
Dados diretamente úteis que vou usar:
N=20\quad(\text{total de observações}),\qquad x_{\min}=124,\qquad x_{\max}=244.çõ

Passo 2

Escolher as classes (como o enunciado exige 5 classes).
  1. Calcular o alcance (range):
\text{range}=x_{\max}-x_{\min}=244-124=120.
  1. A largura teórica da classe seria \dfrac{\text{range}}{k}=\dfrac{120}{5}=24.
    Para obter limites inteiros e práticos, escolho uma largura de classe arredondada para 25 e um limite inferior conveniente 120, de forma que as 5 classes cubram todo o intervalo até 244. Assim as classes escolhidas são:
[120,144],\quad[145,169],\quad[170,194],\quad[195,219],\quad[220,244].
Essas 5 classes têm largura 25 e incluem todos os dados (o menor 124 está em [120,144] e o maior 244 está em [220,244]).

Passo 3

Construir a tabela de frequência por classe e calcular os pontos médios.
Primeiro ordenando mentalmente os dados (para contar):
124,\;145,\;146,\;146,\;149,\;151,\;160,\;162,\;163,\;167,\;173,\;174,\;175,\;177,\;178,\;180,\;188,\;192,\;195,\;244.
Contagem por classe e ponto médio x_i (ponto médio = \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}):
  • Classe 1: [120,144]
    ponto médio x_1=\dfrac{120+144}{2}=132
    frequência f_1=1 (apenas o 124)
  • Classe 2: [145,169]
    ponto médio x_2=\dfrac{145+169}{2}=157
    frequência f_2=9 (valores: 145,146,146,149,151,160,162,163,167)
  • Classe 3: [170,194]
    ponto médio x_3=\dfrac{170+194}{2}=182
    frequência f_3=8 (valores: 173,174,175,177,178,180,188,192)
  • Classe 4: [195,219]
    ponto médio x_4=\dfrac{195+219}{2}=207
    frequência f_4=1 (valor: 195)
  • Classe 5: [220,244]
    ponto médio x_5=\dfrac{220+244}{2}=232
    frequência f_5=1 (valor: 244)
Verificação: f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=1+9+8+1+1=20=N. Tudo certo.

Passo 4

Calcular a média populacional aproximada pelos dados agrupados.
Fórmula usada (para dados agrupados):
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{N},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, x_i é o ponto médio dessa classe e N é o total de observações.
Calcular f_i x_i para cada classe:
\begin{aligned} f_1x_1&=1\cdot132=132,\\\ f_2x_2&=9\cdot157=1413,\\\ f_3x_3&=8\cdot182=1456,\\\ f_4x_4&=1\cdot207=207,\\\ f_5x_5&=1\cdot232=232. \end{aligned}
Somando:
\sum f_i x_i =132+1413+1456+207+232=3440.
Logo
\bar{x}=\frac{3440}{20}=172.
Interpretação rápida: a média estimada do consumo diário é \,172 galões.

Passo 5

Calcular o desvio padrão populacional aproximado pelos dados agrupados.
Fórmula da variância populacional (dados agrupados):
\sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i-\bar{x})^{2}}{N},
e o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Calcular as contribuições f_i (x_i-\bar{x})^{2}:
Primeiro as diferenças x_i-\bar{x}:
\begin{aligned} x_1-\bar{x}&=132-172=-40,\\\ x_2-\bar{x}&=157-172=-15,\\\ x_3-\bar{x}&=182-172=10,\\\ x_4-\bar{x}&=207-172=35,\\\ x_5-\bar{x}&=232-172=60. \end{aligned}
Agora os quadrados e multiplicados por f_i:
\begin{aligned} f_1(x_1-\bar{x})^{2}&=1\cdot(-40)^{2}=1600,\\\ f_2(x_2-\bar{x})^{2}&=9\cdot(-15)^{2}=9\cdot225=2025,\\\ f_3(x_3-\bar{x})^{2}&=8\cdot(10)^{2}=8\cdot100=800,\\\ f_4(x_4-\bar{x})^{2}&=1\cdot35^{2}=1225,\\\ f_5(x_5-\bar{x})^{2}&=1\cdot60^{2}=3600. \end{aligned}
Somando:
\sum f_i (x_i-\bar{x})^{2}=1600+2025+800+1225+3600=9250.
Dividindo por N para obter a variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{9250}{20}=462{,}5.
Tomando a raiz quadrada para obter o desvio padrão:
\sigma=\sqrt{462{,}5}\approx 21{,}5.

Resposta

\bar{x}=172
\sigma\approx21{,}5

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