Nos exercícios de 37 a 44, use fórmulas para dados agrupados para encontrar a média e o desvio padrão indicados.
O número de galões de água consumidos diariamente em um pequeno vilarejo está listado a seguir. Faça a distribuição de frequência (usando cinco classes) para o conjunto de dados. Então, aproxime a média populacional e o desvio padrão populacional do conjunto de dados.
167
180
192
173
145
151
174
175
178
160
195
124
244
146
162
146
177
163
149
188
O número de galões de água consumidos diariamente em um pequeno vilarejo está listado a seguir. Faça a distribuição de frequência (usando cinco classes) para o conjunto de dados. Então, aproxime a média populacional e o desvio padrão populacional do conjunto de dados.
| 167 | 180 | 192 | 173 | 145 | 151 | 174 | 175 | 178 | 160 |
| 195 | 124 | 244 | 146 | 162 | 146 | 177 | 163 | 149 | 188 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Fazer a distribuição de frequência dos dados usando exatamente cinco classes.
- A partir dessa distribuição, aproximar a média populacional e o desvio padrão populacional.
Informações fornecidas (os 20 valores de consumo em galões por dia):
Dados diretamente úteis que vou usar:
Passo 2
Escolher as classes (como o enunciado exige 5 classes).
- Calcular o alcance (range):
- A largura teórica da classe seria
.
Para obter limites inteiros e práticos, escolho uma largura de classe arredondada parae um limite inferior conveniente , de forma que as 5 classes cubram todo o intervalo até . Assim as classes escolhidas são:
Essas 5 classes têm largura
e incluem todos os dados (o menor
está em
e o maior
está em
).
Passo 3
Construir a tabela de frequência por classe e calcular os pontos médios.
Primeiro ordenando mentalmente os dados (para contar):
Contagem por classe e ponto médio
(ponto médio =
):
-
Classe 1:
ponto médio
frequência(apenas o ) -
Classe 2:
ponto médio
frequência(valores: ) -
Classe 3:
ponto médio
frequência(valores: ) -
Classe 4:
ponto médio
frequência(valor: ) -
Classe 5:
ponto médio
frequência(valor: )
Verificação:
. Tudo certo.
Passo 4
Calcular a média populacional aproximada pelos dados agrupados.
Fórmula usada (para dados agrupados):
onde
é a frequência da i-ésima classe,
é o ponto médio dessa classe e
é o total de observações.
Calcular
para cada classe:
Somando:
Logo
Interpretação rápida: a média estimada do consumo diário é
galões.
Passo 5
Calcular o desvio padrão populacional aproximado pelos dados agrupados.
Fórmula da variância populacional (dados agrupados):
e o desvio padrão populacional é
.
Calcular as contribuições
:
Primeiro as diferenças
:
Agora os quadrados e multiplicados por
:
Somando:
Dividindo por
para obter a variância populacional:
Tomando a raiz quadrada para obter o desvio padrão: