Teorema de Chebychev: O tempo médio das mulheres em uma corrida de 400 metros rasos é 57,07 segundos, com desvio padrão de 1,05 . Aplique o teorema de Chebychev para os dados usando \mathrm{k}=2. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Média dos tempos: \mu=57,07 segundos.
  • Desvio padrão: \sigma=1,05 segundos.
  • Valor pedido do parâmetro do Teorema de Chebychev: k=2.
O que o enunciado pede:
  • Aplicar o Teorema de Chebychev com k=2 aos dados fornecidos.
  • Interpretar o resultado (ou seja, dizer o que o teorema garante sobre a proporção dos tempos).

Passo 2

Enunciado do Teorema de Chebychev (forma usada aqui):
\text{Para qualquer distribuição e para todo }k>1,\quad P\bigl(|X-\mu|<k\sigma\bigr)\ge 1-\frac{1}{k^{2}}.çã
Explicação intuitiva e derivação curta (sem jargão técnico):
  • Defina o evento A=\{\,|X-\mu|\ge k\sigma\,\}. Esse evento contém as observações que estão a uma distância de pelo menos k\sigma da média.
  • A variância é a esperança do quadrado do desvio: \operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^{2}].
  • Como em A temos (X-\mu)^{2}\ge (k\sigma)^{2}, segue E[(X-\mu)^{2}]\ge E[(X-\mu)^{2}\mathbf{1}_{A}]\ge (k\sigma)^{2}P(A).
  • Logo P(A)\le \dfrac{\operatorname{Var}(X)}{k^{2}\sigma^{2}}=\dfrac{\sigma^{2}}{k^{2}\sigma^{2}}=\dfrac{1}{k^{2}}.
  • Como P(|X-\mu|<k\sigma)=1-P(A), obtemos a desigualdade do teorema:
P\bigl(|X-\mu|<k\sigma\bigr)\ge 1-\frac{1}{k^{2}}.
Comentário prático: o teorema dá uma cota inferior (garante pelo menos essa fração), independente da forma da distribuição. É normalmente conservador (ou seja, a porcentagem real pode ser bem maior).

Passo 3

Aplicando com k=2:
1-\frac{1}{k^{2}}=1-\frac{1}{2^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0,75.
Portanto, o teorema garante que pelo menos 75\% das observações estão dentro de 2 desvios-padrão da média.

Passo 4

Calcular o intervalo \mu\pm k\sigma com os números dados:
k\sigma=2\cdot 1,05=2,10.
\mu-k\sigma=57,07-2,10=54,97, \qquad \mu+k\sigma=57,07+2,10=59,17.
Logo o intervalo é [54,97,\;59,17] segundos.

Passo 5

Interpretação clara e prática:
  • Pelo Teorema de Chebychev, pelo menos 75\% das mulheres têm tempos de corrida entre 54,97 segundos e 59,17 segundos.
  • Observação importante: o teorema não diz que exatamente 75\% estão nesse intervalo, apenas que é no mínimo 75\%. A porcentagem real pode ser maior (por exemplo, se a distribuição fosse aproximadamente normal, esperaríamos cerca de 95\% dentro de 2 desvios-padrão — essa é a regra empírica, mas ela exige suposições de normalidade).
  • Dica para a prova: método rápido —
    1. identificar \mu, \sigma e k;
    2. calcular a cota 1-1/k^{2};
    3. calcular o intervalo \mu\pm k\sigma;
    4. escrever a interpretação enfatizando que é uma garantia mínima.
Força — você já tem a resposta e a receita para usar o teorema em outras questões!

Resposta

Pelo Teorema de Chebychev: pelo menos 75\% dos tempos estão no intervalo [54,97,\;59,17] segundos.
[54,97,\;59,17] segundos.

Exercícios relacionados