Teorema de Chebychev: O tempo médio das mulheres em uma corrida de 400 metros rasos é 57,07 segundos, com desvio padrão de 1,05 . Aplique o teorema de Chebychev para os dados usando
. Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Média dos tempos:
segundos. - Desvio padrão:
segundos. - Valor pedido do parâmetro do Teorema de Chebychev:
.
O que o enunciado pede:
- Aplicar o Teorema de Chebychev com
aos dados fornecidos. - Interpretar o resultado (ou seja, dizer o que o teorema garante sobre a proporção dos tempos).
Passo 2
Enunciado do Teorema de Chebychev (forma usada aqui):
Explicação intuitiva e derivação curta (sem jargão técnico):
- Defina o evento
. Esse evento contém as observações que estão a uma distância de pelo menos da média. - A variância é a esperança do quadrado do desvio:
. - Como em
temos , segue . - Logo
. - Como
, obtemos a desigualdade do teorema:
Comentário prático: o teorema dá uma cota inferior (garante pelo menos essa fração), independente da forma da distribuição. É normalmente conservador (ou seja, a porcentagem real pode ser bem maior).
Passo 3
Aplicando com
:
Portanto, o teorema garante que pelo menos
das observações estão dentro de
desvios-padrão da média.
Passo 4
Calcular o intervalo
com os números dados:
Logo o intervalo é
segundos.
Passo 5
Interpretação clara e prática:
- Pelo Teorema de Chebychev, pelo menos
das mulheres têm tempos de corrida entre segundos e segundos. - Observação importante: o teorema não diz que exatamente
estão nesse intervalo, apenas que é no mínimo . A porcentagem real pode ser maior (por exemplo, se a distribuição fosse aproximadamente normal, esperaríamos cerca de dentro de desvios-padrão — essa é a regra empírica, mas ela exige suposições de normalidade). - Dica para a prova: método rápido —
- identificar
, e ; - calcular a cota
; - calcular o intervalo
; - escrever a interpretação enfatizando que é uma garantia mínima.
- identificar
Força — você já tem a resposta e a receita para usar o teorema em outras questões!
Resposta
Pelo Teorema de Chebychev: pelo menos
dos tempos estão no intervalo
segundos.
segundos.