O coeficiente de variação CV descreve o desvio padrão como uma porcentagem da média. Por não ter unidades, podemos usar o coeficiente de variação para comparar dados com unidades diferentes.
\mathrm{CV}=\frac{\text { Desvio Padrão }}{\text { média }} \times 100 \%ãé
A tabela seguinte mostra as alturas (em polegadas) e pesos (em libras) dos membros de um time de basquete. Encontre o coeficiente de variação para cada conjunto de dados. O que podemos concluir?
Alturas Pesos
72 180
74 168
68 225
76 201
74 189
69 192
72 197
79 162
70 174
69 171
77 185
73 210

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente de variação (CV) para as duas variáveis (alturas e pesos) e dizer o que podemos concluir. Dados fornecidos (pegados da tabela): são 12 observações de cada variável.
Alturas (em polegadas):
72,\;74,\;68,\;76,\;74,\;69,\;72,\;79,\;70,\;69,\;77,\;73
Pesos (em libras):
180,\;168,\;225,\;201,\;189,\;192,\;197,\;162,\;174,\;171,\;185,\;210
O que vou calcular para cada conjunto:
  • a média \bar{x};
  • o desvio padrão amostral s (sendo amostral, uso a fórmula com divisor n-1);
  • o coeficiente de variação \mathrm{CV}=\dfrac{s}{\bar{x}}\times100\%.

Passo 2

Fórmulas e interpretação rápida (aula curta):
  • A média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} representa o “centro” dos dados, a média.
  • O desvio padrão amostral s mede a dispersão em torno da média; sua fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Explicação: subtrai-se a média de cada valor (obtemos as variações), eleva-se ao quadrado para eliminar sinais, soma-se tudo e divide-se por n-1 (correção de Bessel para amostras). Finalmente faz-se a raiz quadrada para voltar às mesmas unidades dos dados.
  • O coeficiente de variação expressa o desvio padrão em porcentagem da média:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
Como \mathrm{CV} é adimensional (sem unidades), dá para comparar variabilidade relativa entre alturas e pesos.

Passo 3

Cálculo para as alturas — média:
Somando as alturas:
\sum x_{\text{alt}}=873.
Como n=12,
\bar{x}_{\text{alt}}=\frac{873}{12}=72{,}75\\ \text{polegadas}.

Passo 4

Cálculo para as alturas — desvio padrão amostral:
Uma forma prática é usar \displaystyle s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Primeiro, some os quadrados (pegado das contas):
\sum x_{\text{alt}}^2=63641.
Calcule n\bar{x}^2:
\bar{x}_{\text{alt}}^2=72{,}75^2=5292{,}5625, \qquad n\bar{x}_{\text{alt}}^2=12\cdot5292{,}5625=63510{,}75.
Agora a soma dos quadrados dos desvios:
\sum (x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2=63641-63510{,}75=130{,}25.
Desvio padrão amostral:
s_{\text{alt}}=\sqrt{\frac{130{,}25}{12-1}}=\sqrt{\frac{130{,}25}{11}}=\sqrt{11{,}840909\ldots}\approx3{,}44\\ \text{polegadas}.

Passo 5

Coeficiente de variação para as alturas:
\mathrm{CV}_{\text{alt}}=\frac{s_{\text{alt}}}{\bar{x}_{\text{alt}}}\times100\% =\frac{3{,}44}{72{,}75}\times100\%\approx4{,}73\%.
Interpretação breve: em média, o desvio em alturas corresponde a cerca de 4{,}73\% da média das alturas — variabilidade relativa baixa.

Passo 6

Cálculo para os pesos — média:
Somando os pesos (pegado da tabela):
\sum x_{\text{peso}}=2254.
Então
\bar{x}_{\text{peso}}=\frac{2254}{12}=187{,}833333\ldots \approx187{,}83\\ \text{libras}.

Passo 7

Cálculo para os pesos — desvio padrão amostral, usando soma dos quadrados:
Computei os quadrados e somei (valores pegados das contas):
\sum x_{\text{peso}}^2=427130.
Calcule n\bar{x}_{\text{peso}}^2. Usando \bar{x}_{\text{peso}}=\tfrac{1127}{6},
\bar{x}_{\text{peso}}^2=\frac{1127^2}{36}=\frac{1270129}{36}\approx35281{,}3613889,
n\bar{x}_{\text{peso}}^2=12\cdot\bar{x}_{\text{peso}}^2=\frac{12}{1}\cdot\frac{1270129}{36}=\frac{1270129}{3}\approx423376{,}3333333.
Soma dos quadrados dos desvios:
\sum (x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2=427130-423376{,}3333333=3753{,}6666667.
Desvio padrão amostral:
s_{\text{peso}}=\sqrt{\frac{3753{,}6666667}{11}}=\sqrt{341{,}24242424\ldots}\approx18{,}47\\ \text{libras}.

Passo 8

Coeficiente de variação para os pesos:
\mathrm{CV}_{\text{peso}}=\frac{s_{\text{peso}}}{\bar{x}_{\text{peso}}}\times100\% =\frac{18{,}47}{187{,}83}\times100\%\approx9{,}84\%.

Passo 9

Conclusão (interpretação comparativa, em linguagem simples e encorajadora):
  • As alturas têm \mathrm{CV}_{\text{alt}}\approx4{,}73\%; os pesos têm \mathrm{CV}_{\text{peso}}\approx9{,}84\%.
  • Como o coeficiente de variação dos pesos é maior (aproximadamente o dobro do das alturas), isso significa que, em termos relativos, os pesos apresentam maior dispersão em relação à sua média do que as alturas. Em outras palavras: as alturas da equipe são mais homogêneas (mais consistentes), enquanto os pesos variam mais entre os jogadores.
  • Observação prática: usar CV é útil porque permite comparar variabilidade entre grandezas com unidades diferentes (polegadas vs libras), como aqui.

Resposta

\mathrm{CV}_{\text{alt}} \approx 4{,}73\%
\mathrm{CV}_{\text{peso}} \approx 9{,}84\%

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