Nos exercícios 37 a 44, verifique se o conjunto B é uma base do espaço vetorial V.
V=R^2, B=(3,-6),(-4,8)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B=(3,-6),,(-4,8) é uma base de V=R^2.
Para isso, como dimR^2=2 e temos exatamente dois vetores em B, basta checar se eles são linearmente independentes (já que então necessariamente gerariam todo R^2).

Passo 2

Dizemos que (3,-6) e (-4,8) são linearmente dependentes se existir escalar c tal que
(-4,8)=c,(3,-6)
Devemos então comparar componente a componente:
-4 = 3c e 8 = -6c

Passo 3

Da primeira igualdade vem
c = -43
Da segunda igualdade vem
c = 8-6 = -43
Como ambos os cálculos dão o mesmo c=-tfrac43, concluímos que
(-4,8) = -tfrac43,(3,-6),
ou seja, um vetor é múltiplo escalar do outro.

Passo 4

Como os dois vetores de B são colineares, eles são linearmente dependentes. Logo não formam uma base de R^2.

Resposta

B não é base de R^2, pois os vetores são linearmente dependentes.

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