Calcule a distância entre o ponto P(2,-1,1) e o plano pi: x-2 y+2 z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(2,-1,1) até o plano
pi: x - 2y + 2z - 3 = 0
O conteúdo é geometria analítica em R^3 e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano, que envolve o vetor normal ao plano.

Passo 2

A fórmula geral é:
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2,
onde o plano é dado por Ax+By+Cz+D=0 e o ponto é (x0,y0,z0). Aqui temos
A = 1, B = -2, C = 2, D = -3,
e (x0,y0,z0) = (2,-1,1).

Passo 3

Calculando o numerador da fórmula:
A x0 + B y0 + C z0 + D = 1cdot2 + (-2)cdot(-1) + 2cdot1 + (-3) = 2 + 2 + 2 - 3 = 3

Passo 4

Calculando o denominador, que é o módulo do vetor normal (A,B,C):
raizA^2 + B^2 + C^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3

Passo 5

Substituindo em d,
d = l|3r|3 = 1

Resposta

A distância entre P e pi é 1.

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