Obtenha a equação do plano que contém a reta r: x=1+t, y=2-t, z=3 t e o ponto P(0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma reta r com equações paramétricas
x=1+t, y=2-t, z=3t
e o ponto P(0,0,0). Queremos a equação do plano que contém tanto r quanto P. Para isso vamos usar geometria vetorial:
  1. Escolher um ponto A sobre r e a direção vec v de r.
  2. Construir o vetor AP.
  3. Calcular o produto vetorial vec vtimesAP para obter a normal vec n do plano.
  4. Escrever a equação do plano usando vec n.

Passo 2

Para t=0, a reta passa por
A=(1,2,0)
A direção de r é o vetor
vec v=(1,-1,3)

Passo 3

O vetor que liga A a P é
AP=P - A = (0-1,,0-2,,0-0)=(-1,-2,0)

Passo 4

O produto vetorial
vec n = vec v times AP = (1,-1,3)times(-1,-2,0) = (6,,-3,,-3)
Podemos simplificar dividindo por 3, obtendo
vec n=(2,-1,-1)

Passo 5

A equação geral de um plano com normal vec n=(a,b,c) é
a x + b y + c z + D = 0
Aqui a=2, b=-1, c=-1. Para determinar D, basta usar o ponto P(0,0,0):
2cdot0 + (-1)cdot0 + (-1)cdot0 + D = 0 Longrightarrow D=0
Logo a equação do plano é
2x - y - z = 0

Resposta

2x - y - z = 0

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