Nos exercícios 37 a 44, verifique se o conjunto B é uma base do espaço vetorial V.
V=R^3, B=(1,0,1),(0,-1,2),(-2,1,-4)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = (1,0,1),,(0,-1,2),,(-2,1,-4)
é uma base de V=R^3. Lembrando que uma base de um espaço vetorial de dimensão 3 é um conjunto de 3 vetores que seja linearmente independente (e portanto gerador de R^3).

Passo 2

Como dim(R^3)=3 e lvert Brvert=3, basta checar se os vetores são linearmente independentes. Uma forma eficiente é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 3

Formamos a matriz
M = 1 & 0 & -2 [6pt] 0 & -1 & 1 [6pt] 1 & 2 & -4
e calculamos
det(M) = 1cdot det!-1 & 1 [3pt] 2 & -4 +(-2)cdot det!0 & -1 [3pt] 1 & 2
Agora,
det!-1 & 1 [3pt] 2 & -4 =(-1)cdot(-4)-1cdot2=4-2=2,
det!0 & -1 [3pt] 1 & 2 =0cdot2-(-1)cdot1=1
Logo,
det(M)=1cdot2+(-2)cdot1=2-2=0
]

Passo 4

Como det(M)=0, os vetores de B são linearmente dependentes em R^3. Portanto B não é uma base de V.

Resposta

B não é base de R^3.

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