Determine:
(a) O polinômio característico de A.
(b) Os autovalores de A.
(c) Uma base para cada um dos autoespaços de A.
(d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & 2 3 & -1 & 3 2 & 0 & 1
e pede:
(a) o polinômio característico de A;
(b) os autovalores de A;
(c) uma base para cada autoespaço de A;
(d) as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Para isso vamos usar a definição de polinômio característico p(lambda)=det(lambda I - A), resolver p(lambda)=0 para obter os autovalores e em seguida resolver (A-lambda I)x=0 para encontrar os autoespaços.
Passo 2
Formamos lambda I - A e calculamos o determinante:
lambda I - A = lambda-1 & 0 & -2 -3 & lambda+1 & -3 -2 & 0 & lambda-1
Expandindo pela primeira linha,
det(lambda I - A) =(lambda-1)det lambda+1 & -3 0 & lambda-1 -2det -3 & lambda+1 -2 & 0
Calcula-se
det lambda+1 & -3 0 & lambda-1 =(lambda+1)(lambda-1),
det -3 & lambda+1 -2 & 0 =-3cdot0-(-2)(lambda+1)=2(lambda+1)
Logo
det(lambda I - A) =(lambda-1)(lambda+1)(lambda-1)-2cdot2(lambda+1) =(lambda-1)^2(lambda+1)-4(lambda+1) =(lambda+1)l[(lambda-1)^2-4r]
Como (lambda-1)^2-4=(lambda-3)(lambda+1), temos
p(lambda)=det(lambda I - A) =(lambda-3)(lambda+1)^2
Passo 3
Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0, ou seja
lambda-3=0implies lambda=3, (lambda+1)^2=0implies lambda=-1 (mu<iplicidade algébrica 2) é
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)x=0. Caso lambda=3:
A-3I = -2 & 0 & 2 3 & -4& 3 2 & 0 & -2 ,
as equações dão x=z e y=tfrac32,z. Tomando z=2 obtemos o vetor (2,3,2).
Base do autoespaço lambda=3: (2,3,2).
Caso lambda=-1:
A+I = 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 2 & 0 & 2 ,
a única equação é x+z=0, e y livre. Logo x=-z. Tomando (y,z)=(1,0) e (0,1) geramos (0,1,0) e (-1,0,1).
Base do autoespaço lambda=-1: (0,1,0),,(-1,0,1).
Passo 5
A partir de p(lambda)=(lambda-3)(lambda+1)^2:
Para lambda=3: multiplicidade algébrica 1, geométrica dimlang<=(2,3,2)rang<==1.
Para lambda=-1: multiplicidade algébrica 2, geométrica dimlang<=(0,1,0),(-1,0,1)rang<==2.
Resposta
(a) p(lambda)=(lambda-3)(lambda+1)^2.
(b) lambda=3 (multiplicidade 1) e lambda=-1 (multiplicidade 2).
(c) Para lambda=3: (2,3,2). Para lambda=-1: (0,1,0),,(-1,0,1).
(d) Para lambda=3: multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1. Para lambda=-1: multiplicidade algébrica 2 e geométrica 2.