Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9,y = 0
Aqui vamos usar o método da equação característica: assumimos uma solução do tipo y=e^r x e determinamos os valores de r.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na EDO, obtemos a equação característica
r^2 + 9 = 0
Resolvendo, vem
r = pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas da forma alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=3, a solução geral é dada por
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Passo 4

Aqui alpha=0 e beta=3, logo
e^alpha x = e^0cdot x=1 e beta x = 3x,
portanto a solução geral fica

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

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