Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
Vamos usar o método do polinômio característico, que consiste em assumir
.
Passo 2
Substituindo
na equação, cada derivada gera um fator
e obtemos o polinômio característico:
Passo 3
Calculamos o discriminante
logo há uma raiz dupla.
Passo 4
Como a raiz é dupla,
, a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.