Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = 0
Vamos usar o método do polinômio característico, que consiste em assumir y(x)=e^rx.

Passo 2

Substituindo y(x)=e^rx na equação, cada derivada gera um fator r e obtemos o polinômio característico:
r^2 + 6r + 9 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = 6^2 - 4cdot1cdot9 = 36 - 36 = 0,
logo há uma raiz dupla.

Passo 4

Como a raiz é dupla, r1 = r2 = -3, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^-3x + C2 x e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-3x + C2 x e^-3x

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