Nos exercícios 38 a 47, calcular as derivadas parciais de 1^a ordem.
f(x, y, z)=2 x y^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z) = 2x,y^2
O conteúdo aqui é diferenciação parcial: para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes e aplicamos a regra de potência a x; para partial fpartial y, tratamos x e z como constantes e aplicamos a regra de potência a y; e para partial fpartial z, verificamos se z aparece na expressão.

Passo 2

Para partial fpartial x:
Tratando y e z como constantes, ;f = 2,y^2cdot x. A derivada de x em relação a x é 1, logo
partial fpartial x = 2,y^2cdot 1 = 2,y^2

Passo 3

Para partial fpartial y:
Tratando x e z como constantes, ;f = 2xcdot y^2. Aplicando a regra de potência em y^2, temos ddy(y^2) = 2y, logo
partial fpartial y = 2x cdot 2y = 4x,y

Passo 4

Para partial fpartial z:
A função f(x,y,z) não depende de z, então a derivada em relação a z é zero, ou seja,
partial fpartial z = 0

Resposta

partial fpartial x = 2,y^2, partial fpartial y = 4x,y, partial fpartial z = 0

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