Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2} \partial z}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma derivada parcial mista de terceira ordem. Especificamente:
e devemos calcular
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As variáveis independentes são
, e . - A função é soma de dois termos:
(depende de e ) e (depende só de ). - A derivada pedida é de ordem total
: duas derivadas em e uma em .
Passo 2
Entendendo o que significa
:
- Isto representa uma derivada parcial mista de terceira ordem em que tomamos uma derivada em
e duas em (a ordem das diferenciações é indiferente se for suficientemente suave, pelo teorema de Clairaut, então podemos escolher a ordem conveniente). - Regra prática: podemos primeiro derivar em
e depois duas vezes em . Ao derivar em uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Passo 3
Calcule
.
- O termo
não depende de , logo sua derivada parcial em relação a é . - O termo
depende de . Usamos a regra da cadeia: se , então
Aqui
, portanto
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial em
sobre o resultado: primeiro
.
- Temos
, que não contém ; ao derivar em mantendo e constantes, uma função que não depende de tem derivada .
Passo 5
Finalmente calculamos a segunda derivada em
:
Portanto a derivada mista pedida é
.