Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
u=x^{y}+e^{2 z} ;
\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2} \partial z}

Passo 1

O enunciado dá a função u e pede uma derivada parcial mista de terceira ordem. Especificamente:
u = x^{y} + e^{2z},
e devemos calcular
\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2}\partial z}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As variáveis independentes são x, y e z.
  • A função é soma de dois termos: x^{y} (depende de x e y) e e^{2z} (depende só de z).
  • A derivada pedida é de ordem total 3: duas derivadas em x e uma em z.

Passo 2

Entendendo o que significa \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2}\partial z}:
  • Isto representa uma derivada parcial mista de terceira ordem em que tomamos uma derivada em z e duas em x (a ordem das diferenciações é indiferente se u for suficientemente suave, pelo teorema de Clairaut, então podemos escolher a ordem conveniente).
  • Regra prática: podemos primeiro derivar em z e depois duas vezes em x. Ao derivar em uma variável, as outras são tratadas como constantes.

Passo 3

Calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}.
  • O termo x^{y} não depende de z, logo sua derivada parcial em relação a z é 0.
  • O termo e^{2z} depende de z. Usamos a regra da cadeia: se g(z)=2z, então
\frac{d}{dz} e^{g(z)} = g'(z)\,e^{g(z)}.
Aqui g'(z)=2, portanto
\frac{\partial u}{\partial z}=0 + 2e^{2z}=2e^{2z}.

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial em x sobre o resultado: primeiro \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right).
  • Temos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}=2e^{2z}, que não contém x; ao derivar em x mantendo y e z constantes, uma função que não depende de x tem derivada 0.
\frac{\partial}{\partial x}\big(2e^{2z}\big)=0.

Passo 5

Finalmente calculamos a segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial x}\big(2e^{2z}\big)\right)=\frac{\partial}{\partial x}(0)=0.
Portanto a derivada mista pedida é 0.

Resposta

0

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