Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
\int_{1}^{4}\left(t^{-1} \mathbf{i}+4 \sqrt{t} \mathbf{j}-8 t^{3 / 2} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do campo vetorial entre t=1 e t=4:
\int_{1}^{4}\left(t^{-1}\mathbf{i}+4\sqrt{t}\,\mathbf{j}-8t^{3/2}\mathbf{k}\right)\,dt.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Limites de integração: t=1 a t=4.
  • Componente em \mathbf{i}: f(t)=t^{-1}.
  • Componente em \mathbf{j}: g(t)=4\sqrt{t}=4t^{1/2}.
  • Componente em \mathbf{k}: h(t)=-8t^{3/2}.
    Objetivo: calcular a integral definida inteira do vetor, isto é, o vetor cujas componentes são as integrais definidas de f, g e h no intervalo [1,4].

Passo 2

Princípio usado (regra de ouro, bem prático): a integral de um vetor dado por somatório de componentes é a soma dos vetores das integrais das componentes. Em fórmula:
\int_{1}^{4}\big(f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{1}^{4}f(t)\,dt\right)\mathbf{i} +\left(\int_{1}^{4}g(t)\,dt\right)\mathbf{j} +\left(\int_{1}^{4}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Também vou usar duas regras básicas de integração:
  • Regra do fator constante: \displaystyle\int a\cdot u(t)\,dt = a\int u(t)\,dt para constante a.
  • Regra da potência (quando n\neq-1): \displaystyle\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle\int t^{-1}\,dt = \ln t + C.

Passo 3

Calcular a componente em \mathbf{i}:
\int_{1}^{4} t^{-1}\,dt = \left.\ln t\right|_{1}^{4} = \ln 4 - \ln 1.
Como \ln 1 = 0, obtemos:
\int_{1}^{4} t^{-1}\,dt = \ln 4.
(Observação: pode também escrever \ln 4 = 2\ln 2, se preferir.)

Passo 4

Calcular a componente em \mathbf{j}:
Primeiro escrever 4\sqrt{t}=4t^{1/2}. Aplicando fator constante e a regra da potência:
\int_{1}^{4}4t^{1/2}\,dt = 4\int_{1}^{4} t^{1/2}\,dt =4\left.\frac{t^{3/2}}{3/2}\right|_{1}^{4}.
Simplificando \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}:
4\cdot\frac{2}{3}\left.\,t^{3/2}\right|_{1}^{4} = \frac{8}{3}\left(t^{3/2}\right)\Big|_{1}^{4}.
Calcular t^{3/2} nos extremos: 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8 e 1^{3/2}=1. Então
\frac{8}{3}(8-1)=\frac{8}{3}\cdot 7 = \frac{56}{3}.

Passo 5

Calcular a componente em \mathbf{k}:
Começamos com -8t^{3/2}. Aplicando fator constante e a regra da potência:
\int_{1}^{4} -8t^{3/2}\,dt = -8\int_{1}^{4} t^{3/2}\,dt = -8\left.\frac{t^{5/2}}{5/2}\right|_{1}^{4}.
Simplificando \dfrac{1}{5/2}=\dfrac{2}{5}:
-8\cdot\frac{2}{5}\left.\,t^{5/2}\right|_{1}^{4} = -\frac{16}{5}\left(t^{5/2}\right)\Big|_{1}^{4}.
Calcular t^{5/2} nos extremos: 4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32 e 1^{5/2}=1. Então
-\frac{16}{5}(32-1) = -\frac{16}{5}\cdot 31 = -\frac{496}{5}.

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas, a integral vetorial vale
\ln 4\,\mathbf{i}+\frac{56}{3}\,\mathbf{j}-\frac{496}{5}\,\mathbf{k}.

Resposta

\ln 4\,\mathbf{i}+\dfrac{56}{3}\,\mathbf{j}-\dfrac{496}{5}\,\mathbf{k}

Exercícios relacionados