Nos exercícios 41-44, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados.
f(x, y)=1-x+y-3 x^2 y, partial fpartial x e partial fpartial y em (1,2)

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada parcial por limite para encontrar
partial fpartial x(1,2) e partial fpartial y(1,2)
onde
f(x,y)=1 - x + y - 3x^2y
A definição de derivada parcial em x no ponto (a,b) é
partial fpartial x(a,b) =limhto 0f(a+h,b)-f(a,b)h,
e análoga para y.

Passo 2

Vamos achar partial fpartial x(1,2). Fixamos y=2 e usamos
f(1+h,2) =1-(1+h)+2-3(1+h)^2cdot2
Calculando:
1-(1+h)+2=2-h, (1+h)^2=1+2h+h^2, 3cdot2,(1+2h+h^2)=6+12h+6h^2,
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f(1+h,2) =(2-h)-(6+12h+6h^2) =-4-13h-6h^2
Como f(1,2)=1-1+2-3cdot1^2cdot2=-4, temos
f(1+h,2)-f(1,2)h =(-4-13h-6h^2)-(-4)h =-13h-6h^2h =-13-6h
Fazendo hto0,
partial fpartial x(1,2)=-13

Passo 3

Agora partial fpartial y(1,2). Fixamos x=1 e usamos
f(1,2+k) =1-1+(2+k)-3cdot1^2,(2+k)
Isso dá
(2+k)-3(2+k)=2+k-6-3k=-4-2k,
e f(1,2)=-4. Assim
f(1,2+k)-f(1,2)k =(-4-2k)-(-4)k =-2kk =-2
Tomando kto0,
partial fpartial y(1,2)=-2

Resposta

partial fpartial x(1,2)=-13, partial fpartial y(1,2)=-2

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