Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

Passo 1

Estamos calculando a derivada de f(x)=sen^3(3x^2+6x). O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma potência, uma função seno e um polinômio interno.

Passo 2

Para organizar, escrevemos a composição em camadas: definimos h(x)=3x^2+6x, depois u(x)=sen(h(x)) e por fim f(x)=u(x)^3.

Passo 3

Derivamos cada parte individualmente: a derivada do polinômio é h'(x)=6x+6; a derivada de u(x)=sen(h(x)) é u'(x)=cos(h(x))cdot h'(x); e a da potência f(u)=u^3 é f'(u)=3u^2, aplicando a regra de potência.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia completa, substituímos u(x) e h(x) e simplificamos:
f'(x)=3l(sen(3x^2+6x)r)^2cdotl(cos(3x^2+6x)cdot (6x+6)r)=18(x+1)sen^2(3x^2+6x)cos(3x^2+6x)

Resposta

f'(x)=18(x+1)sen^2(3x^2+6x)cos(3x^2+6x)

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