Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para, dado f(x)=x³ (domínio ℝ) e g(x)=1/x³ (domínio ℝ{0}), calcular as funções f+g, f−g, f·g, f/g, g/f, f∘g, g∘f e k·f (k constante) e determinar o domínio de cada uma. Vamos usar conceitos de operação de funções (soma, diferença, produto, quociente e composição) e regras de domínio (intersecção de domínios e exclusão de pontos que anulam denominadores).
Passo 2
Para f+g definimos (f+g)(x)=f(x)+g(x). Assim:
O domínio é Dom(f)∩Dom(g), ou seja ℝ∩(ℝ{0})=ℝ{0}, já que em x=0 g não está definida.
Passo 3
Para f−g temos (f−g)(x)=f(x)−g(x). Logo:
O domínio também é ℝ{0} pelo mesmo motivo anterior.
Passo 4
Para f·g usamos (f·g)(x)=f(x)·g(x). Então:
Domínio é a intersecção ℝ∩(ℝ{0})=ℝ{0}.
Passo 5
Para f/g aplicamos (f/g)(x)=f(x)/g(x), tomando cuidado com g(x)≠0. Como g(x)=1/x³ nunca é zero em x≠0, obtemos:
O domínio é Dom(f)∩Dom(g) com g(x)≠0, ou seja ℝ{0}.
Passo 6
Para g/f temos (g/f)(x)=g(x)/f(x), exigindo f(x)≠0. Como f(x)=x³≠0 para x≠0,
Domínio também ℝ{0}.
Passo 7
Para composição f∘g calculamos f(g(x)). Primeiro g(x) está definido sse x≠0; depois aplicamos f em g(x) sem restrição extra, pois f aceita todo número real. Logo:
Domínio: ℝ{0}.
Passo 8
Para g∘f temos g(f(x)). f(x) está definido em todo x∈ℝ, mas g exige argumento ≠0, ou seja f(x)=x³≠0 ⇔ x≠0. Assim:
Domínio: ℝ{0}.
Passo 9
Finalmente, para k·f basta multiplicar f por constante k:
O domínio permanece o mesmo de f, que é ℝ.
Resposta
f+g(x)=x3+1/x3, dom=ℝ{0};
f−g(x)=x3−1/x3, dom=ℝ{0};
f·g(x)=1, dom=ℝ{0};
f/g(x)=x^6, dom=ℝ{0};
g/f(x)=1/x^6, dom=ℝ{0};
f∘g(x)=1/x^9, dom=ℝ{0};
g∘f(x)=1/x^9, dom=ℝ{0};
k·f(x)=k x^3, dom=ℝ.
f−g(x)=x3−1/x3, dom=ℝ{0};
f·g(x)=1, dom=ℝ{0};
f/g(x)=x^6, dom=ℝ{0};
g/f(x)=1/x^6, dom=ℝ{0};
f∘g(x)=1/x^9, dom=ℝ{0};
g∘f(x)=1/x^9, dom=ℝ{0};
k·f(x)=k x^3, dom=ℝ.