Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
8 x^2+9 y^2+4 x=4

Passo 1

O exercício dá a equação 8x² + 9y² + 4x = 4 e pede para expressá-la em uma das formas do Teorema (13.11), que são as formas canônicas de cônicas (nesse caso uma elipse). Vamos precisar completar o quadrado em x, reescrever na forma padrão, identificar o centro, os valores de a² e b², e daí calcular a excentricidade e a equação das diretrizes.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x. Escrevemos
8l(x^2 + tfrac12xr)+9y^2=4
Para completar o quadrado em x, adicionamos e subtraímos 1/16 dentro do parêntese:
x^2+tfrac12x+tfrac116=(x+tfrac14)^2
Logo,
8l((x+tfrac14)^2-tfrac116r)+9y^2=4
8(x+tfrac14)^2-tfrac816+9y^2=4
8(x+tfrac14)^2+9y^2=4+tfrac12=tfrac92

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 9/2 para obter o RHS = 1, temos
8(x+tfrac14)^29/2+9y^29/2=1
Isso é equivalente a
(x+tfrac14)^29/16+y^21/2=1
Dessa forma vemos que o centro da elipse é (-tfrac14,0), com
a^2=tfrac916, b^2=tfrac12,
e como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal.

Passo 4

Para a elipse, a excentricidade é dada por
e=raiz1-b^2a^2=raiz1-1/29/16=raiz1-89=raiztfrac19=tfrac13

Passo 5

As diretrizes de uma elipse com eixo maior horizontal e centro (h,k) são as retas
x-h=pmae
Aqui h=-tfrac14, a=tfrac34 e e=tfrac13, então
x+tfrac14=pm3/41/3=pmtfrac94,
isto é
x=2e x=-tfrac52

Resposta

Excentricidade e=tfrac13. Diretrizes: x=2 e x=-tfrac52.

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