Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
Passo 1
O exercício dá a equação 8x² + 9y² + 4x = 4 e pede para expressá-la em uma das formas do Teorema (13.11), que são as formas canônicas de cônicas (nesse caso uma elipse). Vamos precisar completar o quadrado em x, reescrever na forma padrão, identificar o centro, os valores de a² e b², e daí calcular a excentricidade e a equação das diretrizes.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em x. Escrevemos
Para completar o quadrado em x, adicionamos e subtraímos
Logo,
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
para obter o RHS = 1, temos
Isso é equivalente a
Dessa forma vemos que o centro da elipse é
, com
e como
Passo 4
Para a elipse, a excentricidade é dada por
Passo 5
As diretrizes de uma elipse com eixo maior horizontal e centro
são as retas
Aqui
isto é
Resposta
Excentricidade
. Diretrizes:
e
.