A concentração C(t) em miligramas por centímetros cúbicos (mg / cm^3) de um medicamento no sangue de um paciente é 0,5 mg / cm^3 imediatamente após uma injeção; t minutos depois, está diminuindo a uma taxa de C^prime(t)=-0,01 e^0,01 cdot t(e^0,01 cdot t+1)^2, mg / cm^3, por
minuto. Uma nova injeção é administrativa quando a concentração cai abaixo de 0,5 mg / cm^3.
Qual é a concentração após 1 hora? E após 3 horas?

Passo 1

O enunciado dá a concentração C(t) de um remédio e sua taxa de variação C'(t)= -0.01,e^0.01t(e^0.01t+1)^2, com condição inicial C(0)=0.5 mg/cm³. Precisamos achar C(60) e C(180).

Passo 2

Observa que
ddtl(1e^0.01t+1r) = -0.01e^0.01t(e^0.01t+1)^2,
o que coincide com C'(t).

Passo 3

Então, integrando temos
C(t) = 1e^0.01t+1 + K

Passo 4

Usando C(0)=0.5:
1e^0+1 + K = 0.5 implies 12 + K = 0.5 implies K = 0
Logo
C(t) = 1e^0.01t+1

Passo 5

Basta agora substituir t=60 e t=180:
C(60)=11+e^0.6approx0.3545, C(180)=11+e^1.8approx0.1418

Resposta

Após 1 hora: 0,3545 mg/cm³; após 3 horas: 0,1418 mg/cm³.

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