Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)= (1/2)^-ln(2x). O conteúdo principal aqui é derivação de função exponencial com expoente dependente de x; vamos precisar usar propriedades de logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, reescrevemos a base 1/2 em termos de exponencial de Euler usando (a)^u = e^uln a:
f(x)=e^(-ln(2x))ln(1/2)

Passo 3

Usamos agora a identidade ln(1/2)=-ln2 para simplificar o expoente:
(-ln(2x))ln(1/2)=(-ln(2x))(-ln2)=ln2cdotln(2x)
Então
f(x)=e^ln2cdotln(2x)

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia à função f(x)=e^g(x). Sabemos que
f'(x)=f(x)cdot g'(x)
Aqui g(x)=ln2cdotln(2x). Vamos calcular g'(x):
g'(x)=ln2cdotddx[ln(2x)]=ln2cdot12xcdot2=ln2x

Passo 5

Substituindo em f'(x)=f(x)cdot g'(x) obtemos
f'(x)=e^ln2cdotln(2x)cdotln2x
E voltando para a forma original de f(x):
f'(x)=ln2x(12)^-ln(2x)

Resposta

f’(x)=\frac{\ln2}{x}\left(\frac12\right)^{-\ln(2x)}

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