Uma amostra de proteína de massa m (em gramas se decompõe em aminoácidos a uma taxa dada por dmdt=-(0,1 t+e^0,1 t). Qual é a diferença entre as massas de proteínas após duas horas e após cinco horas?

Passo 1

O enunciado diz que a massa de proteína m(t) (em gramas) se decompõe segundo a equação diferencial tfracdmdt = -l(0.1,t + e^0.1tr). Queremos a diferença entre as massas após duas horas e após cinco horas, ou seja m(2)-m(5). Para resolver vamos usar integração e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Como m(t) decresce conforme tfracdmdt = -(0.1t + e^0.1t), podemos escrever
m(2)-m(5) = m(2)-m(5) = integral2^5 l[ -tfracdmdtr] ,dt = integral2^5 l(0.1t + e^0.1tr) ,dt

Passo 3

Para calcular essa integral, encontramos uma antiderivada de 0.1t + e^0.1t:
integral 0.1t ,dt = 0.05,t^2, integral e^0.1t ,dt = e^0.1t0.1 = 10,e^0.1t

Passo 4

Agora avaliamos de t=2 a t=5:
l[0.05,t^2 + 10,e^0.1tr]2^5 = l(0.05times25 + 10e^0.5r) - l(0.05times4 + 10e^0.2r) = (1.25 + 10e^0.5) - (0.2 + 10e^0.2)

Passo 5

Simplificando, obtemos
m(2)-m(5) = 1.05 + 10l(e^0.5 - e^0.2r)

Passo 6

Para ter uma estimativa numérica, usamos e^0.5approx1.6487 e e^0.2approx1.2214, gerando
1.05 + 10(1.6487 - 1.2214) approx 1.05 + 10times0.4273 = 1.05 + 4.273 = 5.323

Resposta

m(2)-m(5)=1.05+10l(e^0.5-e^0.2r)approx5.32,g

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