Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.
f(x)=arcsen 2 x3

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=arcsen(2x/3). O conteúdo aqui é derivada de função composta usando regra da cadeia e a derivada da função arcsen(u).

Passo 2

Identificamos a função interna u(x)=2x/3. Sabemos que para f(x)=arcsen(u), a derivada é dada por f’(x)=u’(x)/√(1−u(x)²), pois a derivada de arcsen(u) em relação a u é 1/√(1−u²).

Passo 3

Calculamos a derivada da parte interna: u(x)=2x/3 implica que
u'(x)=ddxl(2x/3r)=23

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=u'(x)raiz1 - [u(x)]^2=2/3raiz1 - l(2x/3r)^2

Passo 5

Por fim, simplificamos o denominador:
raiz1 - 4x^29=raiz9 - 4x^29=13raiz9 - 4x^2

Passo 6

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f'(x)=2/3(1/3)raiz9-4x^2=2raiz9-4x^2

Resposta

f'(x)=2raiz9-4x^2

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