Nos exercícios 45 a 50 , determine a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e tem t=0 como ponto de referência.
r(t)=(3+cos t) i+(2+sen t) j;
0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a parametrização por comprimento de arco (PCA) da curva r(t)=(3+cos t) i+(2+sin t) j, mantendo a mesma orientação e tomando t=0 como referência para s=0. Para isso vamos precisar da definição de comprimento de arco e de como reparametrizar a curva por s.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada da curvas e sua velocidade. Temos
r'(t)=ddtl((3+cos t) i+(2+sin t) jr)=-sin t, i+cos t, j
A norma dessa derivada é
| r'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2=raizsin^2t+cos^2t=1

Passo 3

Como a velocidade é constante e igual a 1, o comprimento de arco desde t=0 até t é simplesmente
s(t)=integral0^t| r'(u)|,du=integral0^t1,du=t
Portanto temos s=t e assim a inversão é trivial: t=s.

Passo 4

Basta, então, substituir t=s na parametrização original para obter a PCA:
r(s)=(3+cos s) i+(2+sin s) j,
com 0<= s<=2pi e mesmo sentido de percor­re­ção.

Resposta

r(s)=(3+cos s) i+(2+sin s) j, 0<= s<=2pi.

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