Nos exercícios de 47 a 50, aproxime a média dos dados agrupados.
Idades: Idade dos moradores de uma cidade.
Idade Frequência
0-9 55
10-19 70
20-29 35
30-39 56
40-49 74
50-59 42
60-69 38
70-79 17
80-89 10

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a média das idades a partir dos dados agrupados na tabela. Peguei estes números da tabela fornecida.
Classes e frequências (peguei da tabela):
  • Classe 0-9: frequência 55.
  • Classe 10-19: frequência 70.
  • Classe 20-29: frequência 35.
  • Classe 30-39: frequência 56.
  • Classe 40-49: frequência 74.
  • Classe 50-59: frequência 42.
  • Classe 60-69: frequência 38.
  • Classe 70-79: frequência 17.
  • Classe 80-89: frequência 10.
O que se pede: calcular a média aproximada das idades usando os dados agrupados.

Passo 2

Ideia e fórmula que usamos (aula rápida): quando os dados estão agrupados em classes, não conhecemos as idades individuais. Uma aproximação comum é substituir cada classe pelo seu ponto médio (valor central) e calcular a média ponderada pelas frequências. A fórmula é
\bar{x}\approx\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i},
onde:
  • f_i é a frequência da i-ésima classe (quantas pessoas naquela classe);
  • x_i é o ponto médio da i-ésima classe;
  • \sum_i f_i é o total de observações (número total de moradores);
  • \sum_i f_i x_i é a soma dos produtos ponto-médio vezes frequência.
Explicando em miúdos: escolhemos para cada intervalo o número no meio (por exemplo, para 10\!-\!19 usamos 14{,}5), multiplicamos esse número pelo número de pessoas desse intervalo e somamos tudo; depois dividimos pelo total de pessoas.

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i de cada classe. A fórmula do ponto médio de uma classe [a,b] é
x_i=\frac{a+b}{2}.
Aplicando a cada classe:
  • Para 0\!-\!9: x_1=\dfrac{0+9}{2}=4{,}5.
  • Para 10\!-\!19: x_2=\dfrac{10+19}{2}=14{,}5.
  • Para 20\!-\!29: x_3=\dfrac{20+29}{2}=24{,}5.
  • Para 30\!-\!39: x_4=\dfrac{30+39}{2}=34{,}5.
  • Para 40\!-\!49: x_5=\dfrac{40+49}{2}=44{,}5.
  • Para 50\!-\!59: x_6=\dfrac{50+59}{2}=54{,}5.
  • Para 60\!-\!69: x_7=\dfrac{60+69}{2}=64{,}5.
  • Para 70\!-\!79: x_8=\dfrac{70+79}{2}=74{,}5.
  • Para 80\!-\!89: x_9=\dfrac{80+89}{2}=84{,}5.

Passo 4

Calcular os produtos f_i x_i para cada classe (mostrando as contas):
  • f_1 x_1 = 55\cdot 4{,}5 = 247{,}5.
  • f_2 x_2 = 70\cdot 14{,}5 = 1\,015.
  • f_3 x_3 = 35\cdot 24{,}5 = 857{,}5.
  • f_4 x_4 = 56\cdot 34{,}5 = 1\,932.
  • f_5 x_5 = 74\cdot 44{,}5 = 3\,293.
  • f_6 x_6 = 42\cdot 54{,}5 = 2\,289.
  • f_7 x_7 = 38\cdot 64{,}5 = 2\,451.
  • f_8 x_8 = 17\cdot 74{,}5 = 1\,266{,}5.
  • f_9 x_9 = 10\cdot 84{,}5 = 845.

Passo 5

Calcular o total de frequências \sum_i f_i (total de moradores):
\sum_i f_i = 55+70+35+56+74+42+38+17+10 = 397.

Passo 6

Somar os produtos \sum_i f_i x_i:
\sum_i f_i x_i = 247{,}5 + 1\,015 + 857{,}5 + 1\,932 + 3\,293 + 2\,289 + 2\,451 + 1\,266{,}5 + 845 = 14\,196{,}5.

Passo 7

Aplicar a fórmula da média aproximada:
\bar{x}\approx\frac{\sum_i f_i x_i}{\sum_i f_i}=\frac{14\,196{,}5}{397}.
Fazendo a divisão:
\bar{x}\approx 35{,}7594\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em médias de idade):
\bar{x}\approx 35{,}76.

Passo 8

Interpretação final (rapidinha e motivadora): a média aproximada das idades, usando os pontos médios das classes, é cerca de 35{,}76 anos. Isso significa que, se a população fosse representada por uma única idade média, seria aproximadamente 35{,}8 anos — valor bem interpretável numa prova.

Resposta

\bar{x}\approx 35{,}76

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