Nos exercícios de 47 a 50, aproxime a média dos dados agrupados.
Ligações telefônicas: Duração das ligações de longa distância (em minutos) feitas por uma pessoa em um dia.
Duração Número de chamadas
1-5 12
6-10 26
11-15 20
16-20 7
21-25 11
26-30 7
31-35 4
36-40 4
41-45 1

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar a média dos dados agrupados referentes à duração (em minutos) das ligações.
Informações fornecidas (cada classe e sua frequência):
  • Classe 1\!-\!5: f=12
  • Classe 6\!-\!10: f=26
  • Classe 11\!-\!15: f=20
  • Classe 16\!-\!20: f=7
  • Classe 21\!-\!25: f=11
  • Classe 26\!-\!30: f=7
  • Classe 31\!-\!35: f=4
  • Classe 36\!-\!40: f=4
  • Classe 41\!-\!45: f=1

Passo 2

O método que vamos usar (fórmula e ideia) — passo-a-passo didático:
  • Para dados agrupados, não conhecemos os valores individuais, então aproximamos cada classe por seu ponto médio (marca de classe) x_i.
  • Denotando por f_i a frequência da i-ésima classe e por x_i a marca de classe correspondente, a média aproximada é dada por
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{\sum_i f_i}.
  • Aqui:
    • \bar{x} é a média aproximada (em minutos).
    • \sum_i f_i é o total de observações (número total de chamadas).
    • \sum_i f_i x_i é a soma dos produtos das frequências pelas marcas de classe.
      Esta fórmula é a definição prática da média para dados agrupados: cada classe contribui com sua frequência multiplicada pelo valor representativo da classe (a marca).

Passo 3

Calcular as marcas de classe x_i de cada intervalo (ponto médio da classe):
x_i=\frac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}.
Aplicando em cada classe:
\begin{aligned} x_{1}&=\frac{1+5}{2}=3,\\\ x_{2}&=\frac{6+10}{2}=8,\\\ x_{3}&=\frac{11+15}{2}=13,\\\ x_{4}&=\frac{16+20}{2}=18,\\\ x_{5}&=\frac{21+25}{2}=23,\\\ x_{6}&=\frac{26+30}{2}=28,\\\ x_{7}&=\frac{31+35}{2}=33,\\\ x_{8}&=\frac{36+40}{2}=38,\\\ x_{9}&=\frac{41+45}{2}=43. \end{aligned}

Passo 4

Calcular os produtos f_i x_i para cada classe (cada um representa a contribuição daquela classe à soma total):
\begin{aligned} f_1 x_1 &= 12\cdot 3 = 36,\\\ f_2 x_2 &= 26\cdot 8 = 208,\\\ f_3 x_3 &= 20\cdot 13 = 260,\\\ f_4 x_4 &= 7\cdot 18 = 126,\\\ f_5 x_5 &= 11\cdot 23 = 253,\\\ f_6 x_6 &= 7\cdot 28 = 196,\\\ f_7 x_7 &= 4\cdot 33 = 132,\\\ f_8 x_8 &= 4\cdot 38 = 152,\\\ f_9 x_9 &= 1\cdot 43 = 43. \end{aligned}

Passo 5

Somar as frequências e somar os produtos calculados:
\sum_i f_i = 12+26+20+7+11+7+4+4+1 = 92.
\sum_i f_i x_i = 36+208+260+126+253+196+132+152+43 = 1406.

Passo 6

Calcular a média usando a fórmula:
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{\sum_i f_i}=\frac{1406}{92}.
Simplificando a fração:
\frac{1406}{92}=\frac{703}{46}.
Fazendo a divisão para obter aproximação decimal:
\bar{x}\approx 15,2826\ldots
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas decimais) obtemos, por exemplo, \bar{x}\approx 15,283 minutos.
Observação prática para prova: escrever a fração reduzida \tfrac{703}{46} e depois fazer a divisão curta dá o mesmo resultado; normalmente basta dar a média com duas casas decimais: 15,28 minutos.

Passo 7

Resumo operacional para usar na prova (dicas rápidas e simpáticas):
  • Calcule as marcas x_i rápido como (limite inferior + limite superior)/2.
  • Faça uma tabela curta com x_i, f_i e f_i x_i.
  • Some as colunas, aplique \bar{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.
  • Se der tempo, simplifique a fração antes de dividir para evitar erro de cálculo mental. Força aí — tu consegue!

Resposta

\bar{x}\approx 15,283\\ \text{minutos}

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