Nos exercícios 51 a 54, construa uma distribuição de frequência e um histograma de frequência dos dados usando o número indicado de classes. Descreva a forma do histograma como simétrico, uniforme, assimétrico negativo, assimétrico positivo ou nenhum dos anteriores.
Altura de homens: Número de classes: 5
Conjunto de dados: alturas (aproximadas à próxima polegada) de 30 homens:
67
76
69
68
72
68
65
63
75
69
66
72
67
66
69
73
64
62
71
73
68
72
71
65
69
66
74
72
68
69
Altura de homens: Número de classes: 5
| 67 | 76 | 69 | 68 | 72 | 68 | 65 | 63 | 75 | 69 | 66 | 72 | 67 | 66 | 69 |
| 73 | 64 | 62 | 71 | 73 | 68 | 72 | 71 | 65 | 69 | 66 | 74 | 72 | 68 | 69 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o conjunto de alturas (em polegadas) de
homens: construir uma distribuição de frequência usando
classes e um histograma dessa distribuição; em seguida descrever a forma do histograma (simétrico, uniforme, assimétrico negativo, assimétrico positivo ou nenhum dos anteriores).
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
Número de observações:
. Número de classes pedido:
.
Passo 2
Encontrar o valor mínimo, máximo e a amplitude (range) dos dados — isto é informação necessária para definir as classes.
Definições rápidas (mini-aula):
- O mínimo é o menor valor do conjunto, o máximo é o maior valor.
- A amplitude (range) é
. A amplitude dá a extensão total dos dados; dividindo-a pelo número de classes obtemos uma ideia da largura de cada classe.
Cálculo com os dados:
- Mínimo:
(há um valor nos dados). - Máximo:
(há um valor nos dados). - Amplitude:
Passo 3
Escolher a largura da classe (passo teórico-prático).
Fórmula prática usada em estatística descritiva:
onde
é a largura de classe (arredondada para cima com o teto
) para garantir que as
classes cubram toda a amplitude com largura inteira conveniente.
Aplicando:
Interpretação: vamos usar classes com largura
polegadas (por exemplo 62–64, 65–67, …). Escolhi
porque precisamos de classes inteiras que cubram a amplitude e
não é prático para limites inteiros.
Passo 4
Definir os limites das
classes a partir do mínimo e com largura
.
Decisão prática (convenção): usar classes consecutivas que começem em
e cada uma abrange 3 unidades inteiras:
- Classe 1:
a - Classe 2:
a - Classe 3:
a - Classe 4:
a - Classe 5:
a
Observação didática: para dados contínuos costuma-se usar intervalos como
,
etc.; para dados arredondados a polegada é aceitável usar intervalos inteiros como acima, tomando cuidado para que cada valor caia em exatamente uma classe (aqui os valores são inteiros e os intervalos listados são disjuntos e cobrem todo o suporte).
Passo 5
Contar quantas observações caem em cada classe (técnica de contagem).
Primeiro, uma pequena contagem por valor (ajuda na soma por classes):
(Isto foi obtido contando cada ocorrência do conjunto.)
Agora somo por classes:
- Classe
: contém . - Classe
: contém . - Classe
: contém . - Classe
: contém . - Classe
: contém .
Verificação:
. Tudo confere.
Passo 6
Construir a tabela de distribuição de frequência (frequência absoluta, relativa e percentual). Mini-aula sobre termos:
- Frequência absoluta
: número de observações na classe. - Frequência relativa:
(fração do total, útil para comparar amostras de tamanhos diferentes). - Percentual:
.
Cálculos (com
):
Passo 7
Instruções para o histograma (como desenhar e interpretar).
Como desenhar o histograma (passo a passo rápido):
- No eixo horizontal (eixo
) coloque as classes contínuas: . - No eixo vertical (eixo
) coloque a frequência absoluta (ou frequência relativa se preferir). - Para cada classe desenhe um retângulo cuja base é a largura da classe (aqui
unidades) e cuja altura é a frequência da classe ( respectivamente). - Não deixe espaço entre barras (dados contínuos) — barras adjacentes se tocam.
Exemplo pequeno (representação textual do histograma usando barras proporcionais às frequências):
(Isto é somente uma visualização textual; ao desenhar no papel, faça as barras com alturas proporcionais a
.)
Passo 8
Determinar a forma do histograma (mini-aula e análise).
Como decidir a forma:
- Simétrico: as frequências se distribuem de maneira aproximadamente espelhada em torno de uma classe central.
- Assimétrico positivo (a direita): cauda longa para valores maiores; mais massa à esquerda.
- Assimétrico negativo (a esquerda): cauda longa para valores menores; mais massa à direita.
- Uniforme: barras aproximadamente iguais.
- “Nenhum dos anteriores”: quando não se encaixa claramente.
Comparando as frequências obtidas:
Observações:
- As classes extremas
e têm a mesma frequência ( e ). - As classes adjacentes ao centro são
e , próximas entre si. - A classe central
é a maior ( ).
Isso mostra uma distribuição com pico central e caudas laterais aproximadamente balanceadas — portanto a forma é aproximadamente simétrica.
Conclusão: o histograma é simétrico (ou muito próximo disso).
Resposta
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Forma: simétrico