Nos exercícios 51 a 54, construa uma distribuição de frequência e um histograma de frequência dos dados usando o número indicado de classes. Descreva a forma do histograma como simétrico, uniforme, assimétrico negativo, assimétrico positivo ou nenhum dos anteriores.
Altura de homens: Número de classes: 5
Conjunto de dados: alturas (aproximadas à próxima polegada) de 30 homens:
67 76 69 68 72 68 65 63 75 69 66 72 67 66 69
73 64 62 71 73 68 72 71 65 69 66 74 72 68 69

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o conjunto de alturas (em polegadas) de 30 homens: construir uma distribuição de frequência usando 5 classes e um histograma dessa distribuição; em seguida descrever a forma do histograma (simétrico, uniforme, assimétrico negativo, assimétrico positivo ou nenhum dos anteriores).
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
67,\;76,\;69,\;68,\;72,\;68,\;65,\;63,\;75,\;69,\;66,\;72,\;67,\;66,\;69,
73,\;64,\;62,\;71,\;73,\;68,\;72,\;71,\;65,\;69,\;66,\;74,\;72,\;68,\;69
Número de observações: n=30. Número de classes pedido: k=5.

Passo 2

Encontrar o valor mínimo, máximo e a amplitude (range) dos dados — isto é informação necessária para definir as classes.
Definições rápidas (mini-aula):
  • O mínimo é o menor valor do conjunto, o máximo é o maior valor.
  • A amplitude (range) é \text{range}=\text{máximo}-\text{mínimo}áí. A amplitude dá a extensão total dos dados; dividindo-a pelo número de classes obtemos uma ideia da largura de cada classe.
Cálculo com os dados:
  • Mínimo: \min=62 (há um valor 62 nos dados).
  • Máximo: \max=76 (há um valor 76 nos dados).
  • Amplitude:
\text{range}=\max-\min=76-62=14.

Passo 3

Escolher a largura da classe (passo teórico-prático).
Fórmula prática usada em estatística descritiva:
h=\left\lceil\frac{\text{range}}{k}\right\rceil,
onde h é a largura de classe (arredondada para cima com o teto \lceil\cdot\rceil) para garantir que as k classes cubram toda a amplitude com largura inteira conveniente.
Aplicando:
\frac{\text{range}}{k}=\frac{14}{5}=2,8\quad\Rightarrow\quad h=\lceil 2,8\rceil=3.
Interpretação: vamos usar classes com largura 3 polegadas (por exemplo 62–64, 65–67, …). Escolhi 3 porque precisamos de classes inteiras que cubram a amplitude e 2{,}8 não é prático para limites inteiros.

Passo 4

Definir os limites das 5 classes a partir do mínimo e com largura h=3.
Decisão prática (convenção): usar classes consecutivas que começem em 62 e cada uma abrange 3 unidades inteiras:
  • Classe 1: 62 a 64
  • Classe 2: 65 a 67
  • Classe 3: 68 a 70
  • Classe 4: 71 a 73
  • Classe 5: 74 a 76
Observação didática: para dados contínuos costuma-se usar intervalos como [62,65), [65,68) etc.; para dados arredondados a polegada é aceitável usar intervalos inteiros como acima, tomando cuidado para que cada valor caia em exatamente uma classe (aqui os valores são inteiros e os intervalos listados são disjuntos e cobrem todo o suporte).

Passo 5

Contar quantas observações caem em cada classe (técnica de contagem).
Primeiro, uma pequena contagem por valor (ajuda na soma por classes):
\begin{aligned} 62:&\;1,\quad 63:1,\quad 64:1,\\\\ 65:&\;2,\quad 66:3,\quad 67:2,\\\\ 68:&\;4,\quad 69:5,\quad 70:0,\\\\ 71:&\;2,\quad 72:4,\quad 73:2,\\\\ 74:&\;1,\quad 75:1,\quad 76:1. \end{aligned}
(Isto foi obtido contando cada ocorrência do conjunto.)
Agora somo por classes:
  • Classe 62\text{--}64: contém 62,63,64 \Rightarrow f_1=1+1+1=3.
  • Classe 65\text{--}67: contém 65,66,67 \Rightarrow f_2=2+3+2=7.
  • Classe 68\text{--}70: contém 68,69,70 \Rightarrow f_3=4+5+0=9.
  • Classe 71\text{--}73: contém 71,72,73 \Rightarrow f_4=2+4+2=8.
  • Classe 74\text{--}76: contém 74,75,76 \Rightarrow f_5=1+1+1=3.
Verificação: 3+7+9+8+3=30=n. Tudo confere.

Passo 6

Construir a tabela de distribuição de frequência (frequência absoluta, relativa e percentual). Mini-aula sobre termos:
  • Frequência absoluta f: número de observações na classe.
  • Frequência relativa: f/n (fração do total, útil para comparar amostras de tamanhos diferentes).
  • Percentual: 100\cdot f/n.
Cálculos (com n=30):
\begin{aligned} \text{Classe }62\text{--}64:&\quad f=3,\quad f/n=\dfrac{3}{30}=0,10,\quad 10\%\\[4pt] \text{Classe }65\text{--}67:&\quad f=7,\quad f/n=\dfrac{7}{30}\approx 0,233,\quad 23{,}3\%\\[4pt] \text{Classe }68\text{--}70:&\quad f=9,\quad f/n=\dfrac{9}{30}=0,30,\quad 30\%\\[4pt] \text{Classe }71\text{--}73:&\quad f=8,\quad f/n=\dfrac{8}{30}\approx 0,267,\quad 26{,}7\%\\[4pt] \text{Classe }74\text{--}76:&\quad f=3,\quad f/n=\dfrac{3}{30}=0,10,\quad 10\% \end{aligned}]

Passo 7

Instruções para o histograma (como desenhar e interpretar).
Como desenhar o histograma (passo a passo rápido):
  • No eixo horizontal (eixo x) coloque as classes contínuas: 62\text{--}64,\;65\text{--}67,\;68\text{--}70,\;71\text{--}73,\;74\text{--}76.
  • No eixo vertical (eixo y) coloque a frequência absoluta (ou frequência relativa se preferir).
  • Para cada classe desenhe um retângulo cuja base é a largura da classe (aqui 3 unidades) e cuja altura é a frequência da classe ( 3,\;7,\;9,\;8,\;3 respectivamente).
  • Não deixe espaço entre barras (dados contínuos) — barras adjacentes se tocam.
Exemplo pequeno (representação textual do histograma usando barras proporcionais às frequências):
\begin{aligned} 62\text{--}64:&\\ \ast\ast\ast\quad(f=3)\\\\ 65\text{--}67:&\\ \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\quad(f=7)\\\\ 68\text{--}70:&\\ \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\quad(f=9)\\\\ 71\text{--}73:&\\ \ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\quad(f=8)\\\\ 74\text{--}76:&\\ \ast\ast\ast\quad(f=3) \end{aligned}
(Isto é somente uma visualização textual; ao desenhar no papel, faça as barras com alturas proporcionais a f.)

Passo 8

Determinar a forma do histograma (mini-aula e análise).
Como decidir a forma:
  • Simétrico: as frequências se distribuem de maneira aproximadamente espelhada em torno de uma classe central.
  • Assimétrico positivo (a direita): cauda longa para valores maiores; mais massa à esquerda.
  • Assimétrico negativo (a esquerda): cauda longa para valores menores; mais massa à direita.
  • Uniforme: barras aproximadamente iguais.
  • “Nenhum dos anteriores”: quando não se encaixa claramente.
Comparando as frequências obtidas:
f_1=3,\; f_2=7,\; f_3=9,\; f_4=8,\; f_5=3.
Observações:
  • As classes extremas 62\text{--}64 e 74\text{--}76 têm a mesma frequência ( 3 e 3).
  • As classes adjacentes ao centro são 7 e 8, próximas entre si.
  • A classe central 68\text{--}70 é a maior ( 9).
Isso mostra uma distribuição com pico central e caudas laterais aproximadamente balanceadas — portanto a forma é aproximadamente simétrica.
Conclusão: o histograma é simétrico (ou muito próximo disso).

Resposta

Classe 62\text{--}64:\;f=3,\;f/n=0,10,\;10\%
Classe 65\text{--}67:\;f=7,\;f/n\approx0,233,\;23{,}3\%
Classe 68\text{--}70:\;f=9,\;f/n=0,30,\;30\%
Classe 71\text{--}73:\;f=8,\;f/n\approx0,267,\;26{,}7\%
Classe 74\text{--}76:\;f=3,\;f/n=0,10,\;10\%
Forma: simétrico

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