QUESTÃO 05 - Calcule o divergente do campo vetorial dado.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial e pede que se calcule o divergente. As informações dadas são:
- O campo vetorial é
. - Aqui
é a função arcotangente (mesma coisa que ). - O campo tem componentes:
-
, -
, -
.
O que se pede: calcular o divergente(uma expressão em termos de ).
-
Passo 2
Recordando a definição operacional que vou usar: o divergente de um campo vetorial
é
Explicando as peças:
é a derivada parcial da componente
em relação a
(segurando
constantes), e análogamente para as outras. Vou aplicar essa fórmula ao campo dado.
Passo 3
Como o campo tem
e
, suas derivadas parciais em relação a
e
são nulas:
Logo sobra apenas a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vou reescrever
de forma a identificar fatores para aplicar regra do produto e cadeia:
onde
A regra do produto para derivadas parciais diz
Vou calcular
e
separadamente.
Passo 5
Derivada parcial do primeiro fator
:
porque
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
, e
.
Passo 6
Agora a derivada parcial do segundo fator
com
. Aplicando a regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada parcial de
em relação a é .
Portanto
Obs.:
.
Passo 7
Aplicando a regra do produto encontrada no Passo 4 e substituindo os resultados dos Passos 5 e 6:
Essa é a expressão do divergente em termos de
. Posso, se quiser, escrever de forma levemente mais compacta agrupando um fator
:
Passo 8
Pequena verificação em um ponto fácil: no ponto
temos
,
e
, então a expressão dá zero — consistente e sem singularidade aparente nesse ponto. Isso ajuda a ganhar confiança na forma final.