QUESTÃO 05 - Calcule o divergente do campo vetorial dado.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) \operatorname{arctg}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial e pede que se calcule o divergente. As informações dadas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\vec{k}.
  • Aqui \operatorname{arctg} é a função arcotangente (mesma coisa que \arctan).
  • O campo tem componentes:
    • F_x(x,y,z)=0,
    • F_y(x,y,z)=0,
    • F_z(x,y,z)=\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
      O que se pede: calcular o divergente \nabla\cdot\vec{F} (uma expressão em termos de x,y,z).

Passo 2

Recordando a definição operacional que vou usar: o divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Explicando as peças: \partial F_x/\partial x é a derivada parcial da componente x em relação a x (segurando y,z constantes), e análogamente para as outras. Vou aplicar essa fórmula ao campo dado.

Passo 3

Como o campo tem F_x=0 e F_y=0, suas derivadas parciais em relação a x e y são nulas:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial y}=0.
Logo sobra apenas a derivada parcial de F_z em relação a z:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_z}{\partial z}.

Passo 4

Vou reescrever F_z de forma a identificar fatores para aplicar regra do produto e cadeia:
F_z(x,y,z)=g(x,y,z)\,h(x,y,z)
onde
g(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}, \qquad h(x,y,z)=\operatorname{arctg}\bigl(r^{2}\bigr), \qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
A regra do produto para derivadas parciais diz
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(g\,h\bigr)=\frac{\partial g}{\partial z}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial z}.
Vou calcular \partial g/\partial z e \partial h/\partial z separadamente.

Passo 5

Derivada parcial do primeiro fator g:
\frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)=3z^{2},
porque x e y são tratados como constantes ao derivar em relação a z, e \frac{d}{dz}z^{3}=3z^{2}.

Passo 6

Agora a derivada parcial do segundo fator h=\operatorname{arctg}(u) com u=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Aplicando a regra da cadeia:
  • A derivada de \operatorname{arctg}(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • A derivada parcial de u=r^{2} em relação a z é \dfrac{\partial u}{\partial z}=2z.
    Portanto
\frac{\partial h}{\partial z}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{1}{1+(r^{2})^{2}}\cdot 2z =\frac{2z}{1+r^{4}}.
Obs.: r^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.

Passo 7

Aplicando a regra do produto encontrada no Passo 4 e substituindo os resultados dos Passos 5 e 6:
\frac{\partial F_z}{\partial z} = \bigl(3z^{2}\bigr)\,\operatorname{arctg}\bigl(r^{2}\bigr) +\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)\,\frac{2z}{1+r^{4}}.
Essa é a expressão do divergente em termos de x,y,z. Posso, se quiser, escrever de forma levemente mais compacta agrupando um fator z:
\nabla\cdot\vec{F} =3z^{2}\operatorname{arctg}\bigl(r^{2}\bigr)+\frac{2z\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)}{1+r^{4}}.

Passo 8

Pequena verificação em um ponto fácil: no ponto (0,0,0) temos r^{2}=0, \operatorname{arctg}(0)=0 e x^{3}+y^{3}+z^{3}=0, então a expressão dá zero — consistente e sem singularidade aparente nesse ponto. Isso ajuda a ganhar confiança na forma final.

Resposta

\nabla\cdot\vec{F} =3z^{2}\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) +\frac{2z\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr)}{1+\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}.

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