Nos Exercicios 47-56, esboce a região de integração, dem de integraçāo e calcule a integral.
Região quadrada integralR(y-2 x^2) d A onde R é a região delimitada pelo quadrado |x|+|y|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(y-2x^2r),dA
onde R é o quadrado “em losango” dado por
R=(x,y)mid |x|+|y|<=1
O conteúdo envolve mudança de ordem de integração e uso de simetria para simplificar a conta.

Passo 2

Esboçamos R como o losango com vértices em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1).
Para montar os limites, note que, para cada xin[-1,1], y varia de -(1-|x|) a 1-|x|. Logo podemos escrever
integral duplaR(y-2x^2),dA =integralx=-1^1integraly=-(1-|x|)^,1-|x|l(y-2x^2r),dy,dx

Passo 3

Observe que a parte integral-(1-|x|)^1-|x|y,dy se anula, pois ymapsto y é função ímpar em limites simétricos. Logo sobra
integral-1^1integral-(1-|x|)^1-|x|(-2x^2),dy,dx

Passo 4

Calculamos então
integral-1^1l(-2x^2r)l[;(1-|x|)-l(-1+|x|r)r],dx =integral-1^1(-2x^2)cdot2(1-|x|),dx
Como o integrando é par em x, podemos fazer
2integral0^1(-2x^2)cdot2(1-x),dx =-8integral0^1x^2(1-x),dx
Agora
integral0^1x^2(1-x),dx =integral0^1(x^2-x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112
Logo
-8cdottfrac112=-tfrac23

Resposta

-tfrac23

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