Sabendo que cotg pi3=raiz33 determine o valor da tangente de 2 pi3, 4 pi3 e 5 pi3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
tan2pi3, tan4pi3 e tan5pi3
sabendo que
cotgpi3=raiz33.
O conteúdo envolve a relação entre cotangente e tangente e as propriedades de simetria da função tangente nos quadrantes do círculo trigonométrico.

Passo 2

Primeiro, usamos a relação entre cotangente e tangente:
cotgpi3=1tanpi3 Longrightarrow tanpi3=1cotgpi3 =1tfracraiz33=raiz3

Passo 3

Para tan2pi3 note que
2pi3=pi - pi3 e vale a identidade
tan(pi-alpha)=-tanalpha.
Logo,
tan2pi3 =tanl(pi-tfracpi3r) =-,tanpi3 =-raiz3

Passo 4

Para tan4pi3 note que
4pi3=pi + pi3 e vale a identidade
tan(pi+alpha)=tanalpha.
Logo,
tan4pi3 =tanl(pi+tfracpi3r) =tanpi3 =raiz3

Passo 5

Para tan5pi3 note que
5pi3=2pi - pi3 e vale a identidade
tan(2pi-alpha)=-tanalpha.
Logo,
tan5pi3 =tanl(2pi-tfracpi3r) =-,tanpi3 =-raiz3

Resposta

tan2pi3=-raiz3, tan4pi3=raiz3, tan5pi3=-raiz3

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