Nos Exercicios 47-56, esboce a região de integração, dem de integraçāo e calcule a integral.
Região triangular integralegral duplaR x y d A onde R é a região delimitada pelas retas y=x, y=2 x e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,y ,dA
onde R é a região triangular limitada pelas retas
y = x, y = 2x, x + y = 2
O conteúdo é integral dupla sobre região plana e vamos precisar esboçar R, determinar seus vértices e estabelecer limites de integração apropriados.

Passo 2

Esboçando as retas e achando os vértices de R:
  1. A interseção de y=x com x+y=2
x+x=2 Longrightarrow x=1, y=1
  1. A interseção de y=2x com x+y=2
x+2x=2 Longrightarrow x=tfrac23, y=tfrac43
  1. As retas y=x e y=2x se encontram em (0,0).
    Logo, R é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e l(tfrac23,tfrac43r), situado entre os “vãos” das duas retas até fecharem na reta x+y=2.

Passo 3

Escolhendo ordem dA = dy,dx, para cada x vai variar y entre as duas curvas que se cruzam. Como cada “raio” atinge a reta x+y=2 em x diferente, é preciso partir x em dois trechos:
  • De x=0 até x=tfrac23: o topo é y=2x.
  • De x=tfrac23 até x=1: o topo é y=2 - x.
    Em ambos os casos o limite inferior é y = x.

Passo 4

Montamos então
integral duplaR x,y,dA =integralx=0^tfrac23!l[integraly=x^2xx,y,dyr]dx +integralx=tfrac23^1!l[integraly=x^,2 - xx,y,dyr]dx

Passo 5

Calculemos a primeira parte I1:
I1 =integral0^tfrac23xl[y^22r]y=x^y=2x,dx =integral0^tfrac23xl((2x)^2 - x^22r)dx =integral0^tfrac233x^32,dx =32cdotx^44|0^tfrac23 =38l(1681r) =227

Passo 6

Agora a segunda parte I2:
I2 =integraltfrac23^1xl[y^22r]y=x^y=2-x,dx =12integraltfrac23^1xl((2-x)^2 - x^2r),dx =12integraltfrac23^1(4x -4x^2),dx
Fazendo a primitivação,
12l[2x^2-4x^33r]tfrac23^1 =l[x^2-tfrac2x^33r]tfrac23^1 =l(1-tfrac23r)-l(tfrac49-tfrac1681r) =13-2081 =781
Somando
I1+I2=227+781 =681+781 =1381

Resposta

integral duplaR x,y,dA = 1381

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