Questão 2 (7 pontos). Calcule
integral duplaG y^3 d A
onde G é a região dada por x^2+y^2=a^2, x <= 0 e y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaGy^3,dA
onde G é o quarto de disco definido por x^2+y^2<= a^2, com x<=0 e y>=0. O conteúdo necessário é mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais separáveis em r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e em G temos 0<= r<= a e pi/2<=theta<=pi. Portanto
integral duplaGy^3,dA =integraltheta=pi/2^piintegralr=0^a(rsintheta)^3,r,dr,dtheta =integralpi/2^pisin^3theta;dtheta;integral0^ar^4,dr

Passo 3

Calculamos a parte em r:
integral0^ar^4,dr =gl[r^55gr]0^a =a^55

Passo 4

Agora a parte em theta: use sin^3theta=(1-cos^2theta)sintheta e u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Então
integralpi/2^pisin^3theta,dtheta =-integralu=0^-1(1-u^2),du =-l[u-u^33r]0^-1 = 23

Passo 5

Multiplicando as duas partes, obtemos
integral duplaGy^3,dA =a^55;cdot;23 =2,a^515

Resposta

2,a^515

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