Questão 3 (9 pontos). Calcule o volume do sólido S, onde S é abaixo do grafico da função z=27 x^2 y^2 e acima da região delimitada por x=1, y=raizx e y=-x^3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que fica abaixo do gráfico da função
z = 27,x^2y^2
e acima da região R do plano xy delimitada por x=1, y=raizx e y=-x^3.
O conteúdo principal é cálculo de volume por meio de uma integral dupla sobre R; vamos precisar:
  1. Descrever R explicitamente.
  2. Montar a integral dupla
  3. Calcular primeiro a integral em y e depois em x.

Passo 2

Para descrever R, achamos a interseção de y=raizx e y=-x^3.
Resolvendo
raizx = -,x^3,
como raizx>=0 e -x^3<=0, a única solução é x=0.
Logo x varia de 0 até 1, e para cada x fixo, y varia de
yinf = -x^3 até ysup = raizx é

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaR z,dA = integral duplaR 27,x^2y^2;dA = integralx=0^1!integraly=-x^3^raizx 27,x^2y^2;dy,dx

Passo 4

Calculemos a integral interna em y. Como
integral y^2,dy = y^33,
temos
integraly=-x^3^raizx27,x^2y^2;dy =27,x^2,gl[y^33gr]y=-x^3^y=raizx =9,x^2l((raizx)^3-(-x^3)^3r)
Note que (raizx)^3=x^3/2 e (-x^3)^3=-x^9, então
(raizx)^3-(-x^3)^3 = x^3/2 + x^9
Ficamos com
integraly=-x^3^raizx27,x^2y^2;dy =9,x^2l(x^3/2+x^9r)

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^19,x^2l(x^3/2+x^9r);dx =9integral0^1l(x^2 + tfrac32+x^2+9r);dx =9integral0^1l(x^7/2+x^11r);dx
Cada termo dá:
integral0^1x^7/2,dx = x^9/29/2|0^1 = 29, integral0^1x^11,dx = x^1212|0^1 = 112
Portanto
V = 9l(tfrac29 + tfrac112r) =9cdot8+336 =9cdot1136 =9936 =114

Resposta

O volume do sólido S é 114.

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