Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{rrrr}\sqrt{2} & 0 & 2 \sqrt{2} & 0 \\\\ -4 \sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de A pela técnica de Gauss–Jordan. O conteúdo é matriz inversa e vamos usar a observação de que, escrevendo A em blocos como
A = \begin{pmatrix} B & C \\[6pt] 0 & D \end{pmatrix},
podemos inverter cada bloco triangular separadamente.]

Passo 2

Identificamos os blocos
B = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & 0 \\[4pt] -4\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}2\sqrt{2} & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Invertendo B e D como matrizes 2×2 triangulares, temos
\det(B)=\sqrt{2}\,\sqrt{2}=2, \quad B^{-1}=\frac1{2}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\[4pt]4\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\[4pt]2\sqrt{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix},
\det(D)=1, \quad D^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-3&1\end{pmatrix}.]

Passo 4

O bloco de canto superior direito de A^{-1} é
X = -\,B^{-1}\,C\,D^{-1}.
Primeiro
C\,D^{-1} =\begin{pmatrix}2\sqrt{2}&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
depois
B^{-1}C =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\[4pt]2\sqrt{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\sqrt{2}&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]8&0\end{pmatrix},
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X=-\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]8&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&0\\[4pt]-8&0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Juntando os blocos, obtemos
A^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1} & X \\[6pt] 0 & D^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -2 & 0 \\[4pt] 2\sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -8 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -2 & 0 \\[4pt] 2\sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -8 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]

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