Nos exercícios 49 e 50 , verifique se o operador T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é diagonalizável e, caso o seja, obtenha uma matriz do \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de T.
T(x, y, z)=(2 x, 3 y+z, 3 z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é diagonalizável e, caso seja, apresentar uma matriz de \mathbb{R}^3 cujas colunas sejam autovetores de T.
Informações dadas:
  • A regra de T é \;T(x,y,z)=(2x,\;3y+z,\;3z)\; para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Calculemos T(e_i):
  • T(e_1)=T(1,0,0)=(2,0,0).
  • T(e_2)=T(0,1,0)=(0,3,0).
  • T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1,3).
As colunas da matriz A de T na base canônica são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Logo
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou lembrar rapidamente o que significa diagonalizável de modo claro e útil para a prova:
  • Um operador linear (ou matriz) é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Em termos práticos, isso significa existir uma matriz invertível P cujas colunas sejam autovetores e tal que P^{-1}AP seja diagonal.
  • Para saber se isso é possível, usamos eigenvalores e suas multiplicidades:
    • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
    • A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio (o conjunto dos vetores v tais que Av=\lambda v).
  • Teorema prático: A é diagonalizável sobre \mathbb{R} se, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica de \lambda é igual à sua multiplicidade algébrica. Em particular, em \mathbb{R}^3 precisa haver três autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Calculemos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Como A é triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal de A-\lambda I:
\chi_A(\lambda)= (2-\lambda)(3-\lambda)(3-\lambda)=(2-\lambda)(3-\lambda)^2.
Portanto os autovalores e suas multiplicidades algébricas são:
  • \lambda_1=2, multiplicidade algébrica 1.
  • \lambda_2=3, multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Encontrar o espaço próprio de [\lambda=2).
Resolva (A-2I)v=0. A matriz A-2I é
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z), então as equações são:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 &\text{(sem informação)},\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 0 &\Rightarrow y+z=0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0 &\Rightarrow z=0. \end{cases}çã
De z=0\] segue \(y=0. A componente x é livre. Logo o espaço próprio é
E_{2}=\{(x,0,0)\colon x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
A multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, igual à sua multiplicidade algébrica.]

Passo 6

Encontrar o espaço próprio de [\lambda=3).
A matriz A-3I é
A-3I=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z), as equações de (A-3I)v=0 são:
\begin{cases} -1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 &\Rightarrow x=0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0 &\Rightarrow z=0,\\[4pt] 0=0 &\text{(sem restrição)}. \end{cases}çã
Assim x=0\], \(z=0, e y é livre. O espaço próprio é
E_{3}=\{(0,y,0)\colon y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2.]

Passo 7

Concluímos a partir das multiplicidades:
  • Para \lambda=2 as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem (ambas 1).
  • Para \lambda=3 a multiplicidade geométrica é 1 enquanto a algébrica é 2. Isso significa que o espaço próprio associado a \lambda=3 tem dimensão menor que a multiplicidade algébrica.
Como não conseguimos obter três autovetores linearmente independentes (temos apenas dois autovetores independentes: (1,0,0) e (0,1,0)), a matriz A (e portanto o operador T) NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Observação intuitiva: a presença de um bloco triangular não diagonal (no caso, o bloco correspondente a \lambda=3) impede a diagonalização a menos que esse bloco já seja diagonal (o que não é aqui, porque há um 1 fora da diagonal).

Resposta

T não é diagonalizável.

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