Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz A. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]
e pede que eu determine os autovalores e os autovetores de A.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 3\times3.
O que se pede: todos os valores escalares \lambda (autovalores) tais que existe vetor não-nulo v (autovetor) com Av=\lambda v, e um autovetor associado a cada autovalor.]
Passo 2
Lembra do conceito (rápida aula): um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
Av=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não-trivial v precisamos que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 é chamada de equação característica; o polinômio \det(A-\lambda I) é o polinômio característico de A. Vou calcular esse determinante para encontrar os autovalores.
Escrevo o sistema linear (A-I)v=0 com v=(x,y,z)^T:
\begin{cases} 0\cdot x - y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 2x + 2y + 2z = 0,\\[4pt] x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\]. Substituindo nas outras:
\[2x+2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-z,\]
e a terceira eq. é a mesma informação. Então os vetores solução são da forma
\[v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]0\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-z\\[2pt]0\\[2pt]z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\]
com \(z\neq0 (vetor não-nulo). Posso escolher z=1 e tomar como autovetor associado a \lambda=1
\begin{cases} - x - y = 0,\\[4pt] 2x + y + 2z = 0,\\[4pt] x + y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
Da primeira (ou terceira) equação vem x=-y\]. Substituo na segunda:
\[2(-y)+y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad -y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad y=2z.\]
Então \(x=-y=-2z. Assim os vetores solução são
\begin{cases} -2x - y = 0,\\[4pt] 2x + 0\cdot y + 2z = 0,\\[4pt] x + y - z = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=-2x\]. Da segunda, dividindo por \(2: x+z=0 então z=-x. Substituindo y=-2x e z=-x na terceira vemos que dá x-2x-(-x)=0, que é 0=0 (consistente). Portanto as soluções são
Resumo rápido (lembrete didático): como os autovalores são distintos (1,2,3), os espaços próprios têm dimensão 1 cada um; cada autovetor acima é determinado até multiplicação escalar. Na prova, é suficiente dar um vetor não-nulo em cada espaço próprio, como eu fiz.