Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz A. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores da matriz
Para cada autovalor, quais são os autovetores (vetores não nulos v tais que A v=\lambda v)?
As informações dadas são apenas os coeficientes da matriz A acima.]
Passo 2
Primeiro um lembrete do conceito (passo-a-passo, sem pular): um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
A v=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir v\neq 0 não-trivial a matriz A-\lambda I deve ser singular, ou seja
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico; resolvê-la dá os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda, resolve-se o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (o espaço de soluções é o autespaço associado a \lambda).
Passo 3
Vamos montar explicitamente A-\lambda I. Subtraindo \lambda dos elementos da diagonal, obtemos
Agora calculamos o determinante \det(A-\lambda I). Observa-se que a primeira linha tem dois zeros, então é muito conveniente desenvolver pela primeira linha:
onde i é a unidade imaginária com i^2=-1. Observação: apareceram dois autovalores complexos conjugados; isso é comum para matrizes reais que não têm autovalores reais suficientes.
Breve interpretação e checagens finais (didática): cada autovalor apareceu com multiplicidade algébrica 1 (o fator (1-\lambda) e os fatores lineares de \lambda^2+1 são distintos), e os espaços próprios que encontramos têm dimensão 1 (cada autovalor tem um autovetor independente). Para \lambda=i e \lambda=-i os autovetores são complexos; se for necessário trabalhar só com vetores reais, esses autovalores não fornecem autovetores reais. Não houve contradição nos sistemas e as simplificações com conjugados foram feitas para expressar os autovetores de forma simples (1\pm i).