Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz A.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Portanto as perguntas são:
  • Quais são os autovalores \lambda de A?
  • Para cada autovalor, quais são os autovetores (vetores não nulos v tais que A v=\lambda v)?
As informações dadas são apenas os coeficientes da matriz A acima.]

Passo 2

Primeiro um lembrete do conceito (passo-a-passo, sem pular): um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
A v=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir v\neq 0 não-trivial a matriz A-\lambda I deve ser singular, ou seja
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico; resolvê-la dá os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda, resolve-se o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (o espaço de soluções é o autespaço associado a \lambda).

Passo 3

Vamos montar explicitamente A-\lambda I. Subtraindo \lambda dos elementos da diagonal, obtemos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -1-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante \det(A-\lambda I). Observa-se que a primeira linha tem dois zeros, então é muito conveniente desenvolver pela primeira linha:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante 2\times2 com calma:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)\cdot 1.
Desenvolvendo o produto (1-\lambda)(-1-\lambda): usar distribuição (lembrete: (a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd):
(1-\lambda)(-1-\lambda)=-1 -\lambda +\lambda +\lambda^2=-1+\lambda^2,
porque os termos -\lambda e +\lambda se cancelam. Somando o +2 vindo de -(-2) obtemos
(1-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)=(-1+\lambda^2)+2=\lambda^2+1.
Portanto
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\,(\lambda^2+1).]

Passo 5

Resolvendo \det(A-\lambda I)=0 temos
(1-\lambda)(\lambda^2+1)=0.
Assim os autovalores são as raízes deste produto:
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=i,\qquad \lambda_3=-i,
onde i é a unidade imaginária com i^2=-1. Observação: apareceram dois autovalores complexos conjugados; isso é comum para matrizes reais que não têm autovalores reais suficientes.

Passo 6

Agora vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começo por \lambda=1\). Substituindo em \(A-\lambda I\) obtemos \[A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Queremos resolver (A-I)v=0 com v=(x,y,z)^\top. As equações associadas são:
\begin{cases} 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0,\\[4pt] 1\cdot x+0\cdot y-2\cdot z=0,\\[4pt] 0\cdot x+1\cdot y-2\cdot z=0. \end{cases}
As duas últimas equações são
x-2z=0,\qquad y-2z=0.
Logo x=2z\] e \(y=2z. Tome z=t como parâmetro livre. Assim os autovetores são
v=t\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.
Nota: aqui t poderia ser real também, porque \lambda=1 é real; o espaço próprio é \operatorname{span}\{(2,2,1)\}.]

Passo 7

Agora \lambda=i. Calcule A-iI:
A-iI=\begin{pmatrix}1-i & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1-i & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -1-i\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-iI)v=0 com v=(x,y,z)^\top. Das equações obtemos:
  1. (1-i)x=0. Como 1-i\neq 0, isto implica x=0.
  2. Da segunda linha: 1\cdot x+(1-i)y-2z=0. Com x=0 isso dá (1-i)y-2z=0.
  3. Da terceira linha: y+(-1-i)z=0, ou seja y=(1+i)z.
Vamos resolver a relação da segunda linha com cuidado: (1-i)y=2z. Isolando y,
y=\frac{2}{1-i}\,z.
Para simplificar \dfrac{2}{1-i} multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1+i:
\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{1+1}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i.
Portanto y=(1+i)z. Isso coincide com a equação da terceira linha, logo o sistema é consistente. Tomando z=t livre, obtemos o autovetor
v=t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1+i\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.]

Passo 8

Agora \lambda=-i. Calcule A-(-i)I=A+iI:
A+iI=\begin{pmatrix}1+i & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1+i & -2 \\[4pt] 0 & 1 & -1+i\end{pmatrix}.
De forma análoga, das equações de (A+iI)v=0 segue:
  1. (1+i)x=0 logo x=0.
  2. Segunda linha com x=0: (1+i)y-2z=0, então y=\dfrac{2}{1+i}z.
  3. Terceira linha: y+(-1+i)z=0 \Rightarrow y=(1-i)z.
Simplificando \dfrac{2}{1+i} multiplicando pelo conjugado 1-i:
\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(1-i)}{1+1}=1-i.
Assim y=(1-i)z, consistente com a terceira equação. Tomando z=t livre, os autovetores são
v=t\begin{pmatrix}0\\[2pt]1-i\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.]

Passo 9

Breve interpretação e checagens finais (didática): cada autovalor apareceu com multiplicidade algébrica 1 (o fator (1-\lambda) e os fatores lineares de \lambda^2+1 são distintos), e os espaços próprios que encontramos têm dimensão 1 (cada autovalor tem um autovetor independente). Para \lambda=i e \lambda=-i os autovetores são complexos; se for necessário trabalhar só com vetores reais, esses autovalores não fornecem autovetores reais. Não houve contradição nos sistemas e as simplificações com conjugados foram feitas para expressar os autovetores de forma simples ( 1\pm i).

Resposta

\lambda=1: autovetores \text{span}\{\,(2,2,1)\,\}
\lambda=i: autovetores \text{span}\{\,(0,1+i,1)\,\}
\lambda=-i: autovetores \text{span}\{\,(0,1-i,1)\,\}

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