Nos exercícios 51 e 52, fatore:
52. x^3-6 x^2 y+12 x y^2-8 y^3

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3
O conteúdo aqui é reconhecimento da forma do cubo de um binômio, pois sabemos pela fórmula
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Vamos comparar termo a termo para identificar a e b.

Passo 2

Comparando
x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3
com
a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3,
vemos que deve valer
a = x, -3a^2b = -6x^2y ;Longrightarrow; b = 2y
De fato, com a=x e b=2y temos
-3a^2b = -3x^2(2y) = -6x^2y, 3ab^2 = 3x(2y)^2 = 12xy^2, -b^3 = -(2y)^3 = -8y^3,
ou seja, todos os coeficientes batem.

Resposta

(x - 2y)^3

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